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sein bzw. dasselbe Resultat liefern, da sonst der Funktionswert nicht eindeutig fest-
gelegt ist. Man stelle sich vor, dass jeder einzelne Fall für jeden Eingangswert einen
„Funktionswert“ in Form einer Menge vorschreibt: Trifft der Fall für den betrachte-
ten Eingangswert zu, so liefert er die einelementige Menge mit dem spezifizierten
Funktionswert. Andernfalls liefert er die leere Menge. Bei dieser Interpretation er-
gibt sich der Funktionswert bzw. die einelementige Menge, die den Funktionswert
enthält, durch die Vereinigung der sich in den Einzelfällen ergebenden Mengen.
Aus diesem Grund müssen auch die sich aus den Regeln ergebenden Fuzzy-
Mengen
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
(disjunktiv) vereinigt werden, was üblicherweise durch die t-Co-
norm max geschieht, d. h.
µ
output
{
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
R,
a
1
,...,
a
n
=
max
}
(19.5)
R
R
ist die Ausgangs-Fuzzy-Menge unter der Regelbasis
R
bei gegebenem Eingangsvek-
tor
(
a
1
,...,
a
n
)
.AufdieseWeiseergibtsichfürdiebeideninAbbildung19.2darge-
stellten Regeln die dort gezeigte Ausgangs-Fuzzy-Menge.
Um einen konkreten Ausgangswert zu erhalten, muss für die Ausgangs-Fuzzy-
Menge noch eine
Defuzzifizierung
vorgenommen werden. Wir beschränken uns an
dieser Stelle exemplarisch auf eine heuristische Defuzzifizierungsstrategie. AmEnde
dieses Abschnitts und nach der Einführung der konjunktiven Regelsysteme werden
wir das Thema der Defuzzifizierung erneut aufgreifen und tiefer untersuchen.
Um die Grundidee der Defuzzifizierung bei dem Mamdani-Regler zu verste-
hen, betrachten wir noch einmal die in Abbildung 19.2 bestimmte Ausgangs-Fuzzy-
Menge. Die Fuzzy-Mengen in der Konklusion der beiden Regeln interpretieren wir
als unscharfe Werte. Ebenso stellt die Ergebnis-Fuzzy-Menge eine unscharfe
Beschreibung des gewünschten Ausgangswertes dar. Intuitiv lässt sich die
Ausgangs-Fuzzy-Menge in Abbildung 19.2 so verstehen, dass eher ein Wert im rech-
ten Bereich zu wählen ist, zu einem gewissen geringeren Grad kommt jedoch auch
einWert aus dem linken Bereich in Frage. Diese Interpretation wird auch dadurch ge-
rechtfertigt, dass die Prämisse der ersten Regel, die einen unscharfenWert im rechten
Bereich vorschlägt, besser erfüllt ist als die der zweiten. Es sollte daher ein Ausgangs-
wert gewählt werden der etwas mehr im rechten Bereich liegt, der also das Ergebnis
der ersten Regel stärker berücksichtigt als das der zweiten, die zweite Regel aber
trotzdemmit berücksichtigt.
Eine Defuzzifizierungsstrategie, die diesem Kriterium genügt, ist die Schwer-
punktsmethode (Center of Gravity (COG), Center of Area (COA)). Als Ausgangs-
wert wird bei dieser Methode der Schwerpunkt (bzw. seine Projektion auf die Ordi-
nate) der Fläche unter der Ausgangs-Fuzzy-Menge verwendet, d. h.
Y
µ
output
·
ydy
COA
(
µ
output
R,
a
1
,...,
a
n
R,
a
1
,...,
a
n
)=
.
(19.6)
Y
µ
output
R,
a
1
,...,
a
n
dy
Voraussetzung für die Anwendbarkeit dieser Methode ist natürlich die Integrierbar-
keit der Funktionen
µ
output
R
,
a
1
,...,
a
n
und
µ
output
·
y
,diejedochimmergegebenseinwird,
sofern die in den Regeln auftretenden Fuzzy-Mengen halbwegs „vernünftige“, z. B.
stetige Funktionen repräsentieren.
R
,
a
1
,...,
a
n
