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der Wert 1.3 den transformierten Abstand zwischen 22.8 und 27.5 an. Als Ähnlich-
keitsgrad erhalten wir somit 1
min
{
1.3, 1
} =
0.
Die Idee, für einzelne Bereiche unterschiedliche Skalierungsfaktoren zu verwen-
den, lässt sich erweitern, indem man jedem Wert einen Skalierungsfaktor zuordnet,
der angibt, wie genau in der direkten Umgebung des Wertes unterschieden werden
sollte. Anstelle einer stückweise konstanten Skalierungsfunktion wie imBeispiel 17.2
können so beliebige (integrierbare) Skalierungsfunktionen
c
:
R
[0, ) verwendet
werden. Der transformierte Abstand zwischen den Werten
x
und
y
unter einer sol-
chen Skalierungsfunktion wird dann mit Hilfe der Formel
y
c
(
s
)
ds
(17.1)
x
berechnet [Klawonn 1994].
17.3
Interpretation von Fuzzy-Mengen
Fuzzy-Mengen lassen sich als induzierte Konzepte ausgehend von Ähnlichkeitsrela-
tionen, etwa als extensionale Hüllen scharfer Mengen, interpretieren. Im Folgenden
soll die Betrachtungsweise umgekehrt werden, d. h., wir gehen von einer Menge
von Fuzzy-Mengen aus und suchen eine geeignete Ähnlichkeitsrelation dazu. Die
hier vorgestellten Ergebnisse werden wir später für die Interpretation und Untersu-
chung von Fuzzy-Reglern verwenden. Bei Fuzzy-Reglern werden üblicherweise für
denWertebereich jeder relevanten Variablen unscharfe Ausdrücke zur Beschreibung
von ungefähren Werten verwendet. Diese unscharfen Ausdrücke werden wiederum
durch Fuzzy-Mengen repräsentiert. Es ist also für jeden Wertebereich
X
eine Men-
ge
AF(
X
)
von Fuzzy-Mengen vorgegeben. Die diesen Fuzzy-Mengen inhärente
Ununterscheidbarkeit lässt sich—wie wir später noch genauer sehen werden—mit
Hilfe von Ähnlichkeitsrelationen charakterisieren. Eine entscheidende Rolle spielt
dabei die gröbste (größte) Ähnlichkeitsrelation, bei der alle Fuzzy-Mengen in der be-
trachteten Menge
A
extensional sind. Der folgenden Satz, der in Klawonn u. Castro
[1995] bewiesen wird, beschreibt, wie diese Ähnlichkeitsrelation berechnet werden
kann.
Satz 17.1
Es sei t eine stetige t-Norm und
AF(
X
)
eine Menge von Fuzzy-Mengen.
Dann ist
t
E
A
(
x
,
y
)=
inf
µ
(
x
)
,
µ
(
y
)
|
µ
A
(17.2)
die gröbste Ähnlichkeitsrelation bezüglich der t-Norm t, bei der alle Fuzzy-Mengen aus
A
extensional sind. Dabei ist
tdiezurt-NormtgehörendeBiimplikationausGleichung(14.4).
Mit gröbster Fuzzy-Relation ist hier gemeint, dass für jede Ähnlichkeitsrelation
E
,beideralleFuzzy-Mengenaus
A
extensional sind, folgt, dass
E
A
(
x
,
y
)
E
(
x
,
y
)
für alle
x
,
y
X
gilt.
Die Formel (17.2) für die Ähnlichkeitsrelation
E
A
lässt sich sinnvoll im Rahmen
der Fuzzy-Logik erklären. Interpretiert man die Fuzzy-Mengen in
A
als Repräsenta-
tion unscharfer Eigenschaften, so sind zwei Elemente
x
und
y
bezüglich dieser Eigen-
schaften ähnlich zueinander, wenn für jede „Eigenschaft“
µ
A
gilt, dass
x
genau
