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Kapitel 17
Ähnlichkeitsrelationen
In diesem Abschnitt werden wir einen speziellen Typ von Fuzzy-Relationen, die
Ähnlichkeitsrelationen, näher untersuchen, die eine wichtige Rolle bei der Interpre-
tation von Fuzzy-Reglern spielen und ganz allgemein dazu verwendet werden kön-
nen, die einem Fuzzy-System inhärente Ununterscheidbarkeit zu charakterisieren.
Ähnlichkeitsrelationen sind Fuzzy-Relationen, die für je zwei Elemente oder Ob-
jekte angeben, inwieweit sie als ununterscheidbar oder ähnlich angesehen werden.
Von e i ne r Ähn l i c hke i t s r e l a t i on s o l l t e man e rwa r t en , da s s s i e r efle x i v und s ymme -
trisch ist, d. h., dass jedes Element zu sich selbst (zumGrad eins) ähnlich ist und dass
x
genauso ähnlich zu
y
wie
y
zu
x
ist. Zusätzlich zu diesen beiden Mindestanforde-
rungen an Ähnlichkeitsrelationen verlangen wir noch die folgende abgeschwächte
Transitivitätsbedingung: Ist
x
zu einem gewissen Grad ähnlich zu
y
und ist
y
zu ei-
nem gewissen Grad ähnlich zu
z
,dannsollteauch
x
zu einem gewissen (eventuell
geringeren) Grad ähnlich zu
z
sein. Formal definieren wir eine Ähnlichkeitsrelation
wie folgt:
Definition 17.1
Eine
Ähnlichkeitsrelation
E
:
X
X
[
0, 1
]
bezüglich der t-Norm t
auf der Grundmenge X ist eine Fuzzy-Relation über X
X, die den Bedingungen
(E1)
E
(
x
,
x
)=
1,
(Reflexivität)
E
(
x
,
y
)=
E
(
y
,
x
),
(E2)
(Symmetrie)
E
(
x
,
y
),
E
(
y
,
z
)
E
(
x
,
z
).
(E3)
t
(Transitivität)
für alle x
,
y
,
z
Xgenügt.
Die Transitivitätsbedingung für Ähnlichkeitsrelationen kann im Sinne der Fuzzy-
Logik, wie sie im Kapitel 14.4 vorgestellt wurde, folgendermaßen verstanden wer-
den: Der Wahrheitswert der Aussage
x
und
y
sind ähnlich
UND
y
und
z
sind ähnlich
sollte höchstens so groß sein wie der Wahrheitswert der Aussage
x
und
z
sind ähnlich,
