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Kapitel 16
Fuzzy-Relationen
Relationen eignen sich zur Beschreibung von Zusammenhängen zwischen verschie-
denen Variablen, Größen oder Attributen. Formal ist eine (zweistellige) Relation
über den Grundmengen
X
und
Y
eine Teilmenge
R
des kartesischen Produkts
X
Y
von
X
und
Y
.DiePaare(
x
,
y
)
X
Y
,diezurRelation
R
gehören, verbindet ein Zu-
sammenhang, der durch die Relation
R
beschrieben wird. Man schreibt daher häufig
statt (
x
,
y
)
R
auch
xRy
.
Wir werden den Begriff der Relation zum Begriff der Fuzzy-Relation verallge-
meinern. Fuzzy-Relationen sind nützlich für die Darstellung und das Verständnis
von Fuzzy-Reglern, bei denen es um eine Beschreibung eines unscharfen Zusam-
menhangs zwischen Ein- und Ausgangsgrößen geht. Außerdem kann auf der Basis
spezieller Fuzzy-Relationen, den in Abschnitt 17 behandelten Ähnlichkeitsrelatio-
nen, eine Interpretation von Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsgraden angegeben
werden, die besonders für Fuzzy-Regler von Bedeutung ist.
16.1 Gewöhnliche Relationen
Bevor wir die Definition von Fuzzy-Relationen einführen, wiederholen wir kurz
grundlegende Sichtweisen und Konzepte für gewöhnliche Relationen, die zum Ver-
ständnis der Fuzzy-Relationen notwendig sind.
Beispiel 16.1
Die sechs Türen eines Hauses sind mit Schlössern versehen, die
durch bestimmte Schlüssel geöffnet werden können. Die Menge der Türen
T
sei
{
t
1
,...,
t
6
}
,dieMengederverfügbarenSchlüsselsei
S
= {
s
1
,...,
s
5
}
und
s
5
sei der
Generalschlüssel, mit dem jede der sechs Türen geöffnet werden kann. Der Schlüssel
s
1
passt nur zur Tür
t
1
,
s
2
zu
t
1
und
t
2
,
s
3
zu
t
3
und
t
4
,
s
4
zu
t
5
.Formalkönnenwir
diesen Sachverhalt durch die Relation
R
S
T
(„passt zu“) beschreiben. Das Paar
(
s
,
t
)
S
T
ist genau dann ein Element von
R
,wennderSchlüssel
s
zur Tür
t
passt,
d. h.
R
= {
(
s
1
,
t
1
)
,
(
s
2
,
t
1
)
,
(
s
2
,
t
2
)
,
(
s
3
,
t
3
)
,
(
s
3
,
t
4
)
,
(
s
4
,
t
5
)
,
(
s
5
,
t
1
)
,
(
s
5
,
t
2
)
,
(
s
5
,
t
3
)
,
(
s
5
,
t
4
)
,
(
s
5
,
t
5
)
,
(
s
5
,
t
6
) }
.
