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15.4 Extensionsprinzip für mehrelementige Abbildung-
en
Mit Hilfe des kartesischen Produkts können wir das Extensionsprinzip für Abbildun-
gen mit mehreren Argumenten auf das Extensionsprinzip für Funktionen mit einem
Argument zurückführen. Es sei die Abbildung
f
:
X
1
...
X
n
Y
gegeben. Dann ist das Bild des Tupels
(
µ
1
,...,
µ
n
) F(
X
1
)
...
F(
X
n
)
von Fuzzy-Mengen unter
f
die Fuzzy-Menge
f
[
µ
1
,...,
µ
n
]=
f
[
µ
1
...
µ
n
]
über der Grundmenge
Y
,d.h.
f
[
µ
1
,...,
µ
n
](
y
)
(15.4)
=
sup
(
x
1
,...,
x
n
)
X
1
...
X
n
(
µ
1
...
µ
n
)(
x
1
,...,
x
n
)
f
(
x
1
,...,
x
n
)=
y
=
sup
(
x
1
,...,
x
n
)
X
1
...
X
n
min
{
µ
1
(
x
1
)
,...,
µ
n
(
x
n
)}
f
(
x
1
,...,
x
n
)=
y
.
Diese Formel repräsentiert das
Extensionsprinzip
von Zadeh, so wie es 1975 einge-
führt wurde [Zadeh 1975a,b,c].
R
,
(
x
1
,
x
2
)
x
1
+
x
2
sei die Addition.
Die Fuzzy-Mengen
µ
1
=
0,1,2
und
µ
2
=
1,2,3
repräsentieren die vagen Konzepte
„ca. 1“ und „ca. 2“. Dann ergibt sich nach dem Extensionsprinzip die Fuzzy-Menge
f
[
µ
1
,
µ
2
]=
1,3,5
für das vage Konzept „ca. 1 + ca. 2“ (vergleiche Abbildung 15.5).
Auch hier tritt derselbe Effekt wie beim Quadrieren von „ca. 1“ (s. Beispiel 15.2 und
Abbildung 15.4) auf, dass die „Unschärfe“ bei der Ergebnis-Fuzzy-Menge größer ist
als bei den Fuzzy-Mengen, die addiert wurden.
Beispiel 15.3
Die Abbildung
f
:
R
R
Analog zur Addition von Fuzzy-Mengen lassen sich Subtraktion, Multiplikati-
on und Division über das Extensionsprinzip definieren. Da diese Operationen ste-
tig sind, können wie im Beispiel 15.2 die Niveaumengen der resultierenden Fuzzy-
Mengen bei diesen Operationen direkt aus den Niveaumengen der dargestellten
Fuzzy-Mengen berechnet werden, sofern diese stetig sind. Rechnet man mit konve-
xen Fuzzy-Mengen, betreibt man durch das Betrachten der Niveaumengen Intervall-
arithmetik auf den jeweiligen Niveaus. Die Intervallarithmetik [Moore 1966, 1979]
erlaubt das Rechnen mit Intervallen anstelle von reellen Zahlen.
Bei der Anwendung des Extensionsprinzips sollte man sich bewusst sein, dass
zwei Verallgemeinerungsschritte gleichzeitig durchgeführt werden: zum einen die
Erweiterung von einzelnen Elementen auf Mengen und zum anderen der Übergang
