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Abbildung 15.4: Die Fuzzy-Mengen
µ
und
f
[
µ
]
für das vage Konzept „ca. 1“ bzw.
„ca. 1 zum Quadrat“
zu definieren, benötigen wir ein Konzept, wie man eine Abbildung
f
:
X
1
...
X
n
Y
auf ein Tupel
(
µ
1
,...,
µ
n
) F(
X
1
)
...
F(
X
n
)
von Fuzzy-Mengen
anwendet. Da wir die Addition als Funktion mit zwei Argumenten
f
R
R
,
(
x
1
,
x
2
)
x
1
+
x
2
auffassen können, ließe sich damit die Addition von Fuzzy-
Mengen über den reellen Zahlen einführen.
Umdas in Gleichung (15.3) beschriebene Extensionsprinzip auf Abbildungenmit
mehreren Argumenten zu verallgemeinern, führen wir den Begriff des kartesischen
Produkts von Fuzzy-Mengen ein. Gegeben seien die Fuzzy-Mengen
µ
i
F(
X
i
)
,
i
=
1, . . . ,
n
.Das
kartesische Produkt
der Fuzzy-Mengen
µ
1
,...,
µ
n
ist die Fuzzy-Menge
:
R
µ
1
...
µ
n
F(
X
1
...
X
n
)
mit
(
µ
1
...
µ
n
)(
x
1
,...,
x
n
)=
min
{
µ
1
(
x
1
)
,...,
µ
n
(
x
n
)}
.
Diese Definition ist durch die Eigenschaft
(
x
1
,...,
x
n
)
M
1
...
M
n
x
1
M
1
...
x
n
M
n
des kartesischen Produkts gewöhnlicher Mengen motiviert und entspricht der For-
mel
[[ (
x
1
,...,
x
n
)
µ
1
...
µ
n
]] = [[
x
1
µ
1
...
x
n
µ
n
]] ,
wobei der Konjunktion das Minimum als Wahrheitswertfunktion zugeordnet wird.
Ein Spezialfall eines kartesischen Produkts ist die
zylindrische Erweiterung
einer
Fuzzy-Menge
µ
F(
X
i
)
auf den Produktraum
X
1
...
X
n
.DiezylindrischeEr-
weiterung ist das kartesische Produkt von
µ
mit den restlichen Grundmengen
X
j
,
j
=
i
,bzw.derencharakteristischenFunktionen:
ˆ
i
(
µ
)=
I
X
1
...
I
X
i
1
µ
I
X
i
+
1
...
I
X
n
,
ˆ
i
(
µ
)(
x
1
,...,
x
n
)=
µ
(
x
i
).
Offenbar ergibt die Projektion einer zylindrischen Erweiterung wieder die ursprüng-
liche Fuzzy-Menge, d. h.
i
[
ˆ
i
(
µ
)] =
µ
,soferndieMengen
X
1
,...,
X
n
nicht leer sind.
Allgemein gilt
i
[
µ
1
...
µ
n
] =
µ
i
,wenndieFuzzy-Mengen
µ
j
,
j
=
i
,
normal
sind,
d. h.
(
x
j
X
j
)
µ
j
(
x
j
)
=
1.
