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Fuzzy-Menge zu charakterisieren, besteht in der Angabe ihrer Niveaumengen. Lei-
der kann die Niveaumenge des Bildes einer Fuzzy-Menge i.a. nicht direkt aus der
entsprechenden Niveaumenge der ursprünglichen Fuzzy-Menge bestimmt werden.
Es gilt zwar die Beziehung
[
f
[
µ
]
]
f
[
[
µ
]
]
.DieGleichheitistjedochnichtzwin-
gend. Beispielsweise erhalten wir für die Fuzzy-Menge
x
falls 0
x
1
0 t
µ
(
x
)=
als Bild unter der Abbildung
1 lls
x
=
1
0 t
f
(
x
)=
I
{
1
}
(
x
)=
die Fuzzy-Menge
1 lls
y
{
0, 1
}
0 .
f
[
µ
](
y
)=
Damit folgt
= {
1
}
wegen
[
µ
]
1
= {
1
}
.
Dieser unangenehme Effekt, dass das Bild einer Niveaumenge echt in der ent-
sprechenden Niveaumenge der Bild-Fuzzy-Menge enthalten ist, kann, sofern die
Grundmenge
X
=
R
aus den reellen Zahlen besteht, nicht auftreten, wenn die
Abbildung
f
stetig ist und für alle
>
0die
-Niveaumengen der betrachteten
Fuzzy-Menge kompakt sind. In diesem Falle ist daher eine Charakterisierung der
Bild-Fuzzy-Menge über die Niveaumengen möglich.
f
[
µ
]
1
= {
0, 1
}
und
f
[
µ
]
1
x
2
.DasBildeiner
Beispiel 15.2
Wir betrachten die Abbildung
f
:
R
R
,
x
Fuzzy-Menge
µ
F(
R
)
ist offenbar durch
y
),
µ
(
max{
µ
(
y
)}
falls
y
0
f
[
µ
](
y
)=
0
sonst
gegeben. Die Fuzzy-Menge
µ
=
0,1,2
repräsentiere das vage Konzept „ca. 1“. Wir
beantworten die Frage, was „ca. 1 zum Quadrat“ ist, indem wir die Niveaumengen
der Bild-Fuzzy-Menge
f
[
µ
] aus den Niveaumengen von
µ
bestimmen. Dies ist hier
möglich, da die Funktion
f
und die Fuzzy-Menge
µ
stetig sind. Offenbar gilt [
µ
]
=
[
,2
] für alle 0
<
1. Daraus folgt
=[
2
,
(
2
)
2
]
.
f
[
µ
]
=
f
[
µ
]
Die Fuzzy-Mengen
µ
und
f
[
µ
]
sind in Abbildung 15.4 zu sehen. Es zeigt sich, dass
das vage Konzept „ca. 1 zum Quadrat“ nicht mit dem vagen Konzept „ca. 1“ über-
einstimmt. Die „Vagheit“ vergrößert sich bei „ca. 1 zumQuadrat“ gegenüber „ca. 1“,
ähnlich wie sich Fehler bei Berechnungen fortpflanzen.
15.3 Kartesisches Produkt & zylindrische Erweiterung
Bisher haben wir nur Abbildungen mit einem Argument auf Fuzzy-Mengen erwei-
tert. Um Operationen wie die Addition für Fuzzy-Mengen über den reellen Zahlen
