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Ähnlich wie zwischen t-Normen und t-Conormen ein Zusammenhang besteht,
lassen sich auch Verbindungen zwischen t-Normen und Implikationen herstellen.
Eine stetige t-Norm
t
induziert die
residuierte Implikation
t
durch die Formel
t
(
,
)=
sup
{
[
0, 1
]
|
t
(
,
)
}
.
Auf diese Weise erhält man durch Residuierung die
ukasiewicz-Implikation aus
der
ukasiewicz-t-Norm und die Gödel-Implikation aus demMinimum.
Später werden wir noch die zugehörige
Biimplikation
t
benötigen, die durch die
Formel
t
(
,
)=
t
max
{
,
}
,min
{
,
}
(14.4)
t
(
,
)
,
=
t
t
(
,
)
min
{
t
(
,
)
,
=
t
(
,
)}
festgelegt ist. Motiviert ist diese Formel durch die Definition der Biimplikation oder
Äquivalenz in der klassischen Logik mittels
[[
]] = [[ (
) (
)]] .
Neben den logischen Verknüpfungen wie der Konjunktion, der Disjunktion, der
Implikation oder der Negation spielen in der (Fuzzy-)Logik noch die Quantoren
(für alle) und
(es existiert ein) eine wichtige Rolle.
Es ist naheliegend, den Quantoren Wahrheitswertfunktionen zuzuordnen, die an
die Wahrheitswertfunktion der Konjunktion bzw. der Disjunktion angelehnt sind.
Wir betrachten die Grundmenge
X
und das Prädikat
P
(
x
)
.
X
könnte beispielsweise
die Menge
{
2, 4, 6, 8, 10
}
sein und
P
(
x
)
das Prädikat „
x
ist eine gerade Zahl.“ Ist die
Menge
X
endlich, etwa
X
= {
x
1
,...,
x
n
}
,soistoffenbardieAussage
(
x
X
)(
P
(
x
))
äquivalent zu der Aussage
P
(
x
1
)
...
P
(
x
n
)
.EsistdaherindiesemFallmöglich,
denWahrheitswert der Aussage
(
x
X
)(
P
(
x
))
über die Konjunktion zu definieren,
d. h.
[[
(
x
X
)(
P
(
x
))
]]
=
[[
P
(
x
1
)
...
P
(
x
n
)
]] .
Ordnet man der Konjunktion das Minimum als Wahrheitswertfunktion zu, ergibt
sich
[[
(
x
X
)(
P
(
x
))
]]
=
min
{
[[
P
(
x
)
]]
|
x
X
}
,
was problemlos mittels
[[
(
x
X
)(
P
(
x
))
]]
=
inf
{
[[
P
(
x
)
]]
|
x
X
}
,
auch auf unendliche Grundmengen
X
erweiterbar ist. Andere t-Normen als das
Minimumwerden i.a. nicht für den Allquantor herangezogen, da sich bei einer nicht-
idempotenten t-Norm bei unendlicher Grundmenge sehr leicht der Wahrheitswert 0
für eine Aussage mit einem Allquantor ergeben kann.
Eine analoge Herangehensweise für den Existenzquantor, für den bei einer endli-
chen Grundmenge die Aussagen
(
x
X
)(
P
(
x
))
und
P
(
x
1
)
...
P
(
x
n
)
äquivalent
sind, führt zu der Definition
[[
(
x
X
)(
P
(
x
))
]]
=
sup
{
[[
P
(
x
)
]]
|
x
X
}
.
