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Eine Mindestanforderung, die wir an diese Funktionen stellen, ist, dass sie einge-
schränkt auf die Werte 0 und 1 dasselbe liefern, wie die entsprechenden Wahrheits-
wertfunktion, die mit den klassischen logischen Verknüpfungen assoziiert werden.
Diese Forderung besagt, dass die Verknüpfung unscharfer Aussagen, die eigentlich
scharf sind, da ihnen einer der beiden Wahrheitswerte 0 oder 1 zugeordnet ist, mit
der üblichen Verknüpfung scharfer Aussagen übereinstimmt.
Die am häufigsten verwendeten Wahrheitswertfunktionen in der Fuzzy-Logik
für die Konjunktion und die Disjunktion sind das Minimum bzw. das Maximum,
d. h.
w
(
,
)=min{
,
},
w
(
,
)=max{
,
}. Üblicherweise wird die Negation
durch
w
¬
(
)=1
definiert. In dem 1965 erschienenen Aufsatz [Zadeh 1965], in
dem L. Zadeh den Begriff der Fuzzy-Menge einführte, wurden diese Funktionen
zugrundegelegt. Die Implikation wird oft im Sinne der
ukasiewicz-Implikation
w
(
,
)=
min
{
1
+
,1
}
oder der
Gödel-Implikation
1f lls
w
(
,
)=
sonst
verstanden.
14.4.2
t-Normen und t-Conormen
Da wir die Wahrheitswerte aus dem Einheitsintervall bisher nur rein intuitiv als gra-
duelle Wahrheiten interpretiert haben, erscheint die Wahl der oben genannten Wahr-
heitswertfunktionen für die logischen Verknüpfungen zwar plausibel, aber nicht
zwingend. Anstatt willkürlich Funktionen festzulegen, kann man auch einen axio-
matischen Weg beschreiten, indem man gewisse sinnvolle Eigenschaften von den
Wahrhe i t swe r t f unk t i on ve r l ang t und so d i e Kl a s s e de r mög l i chen Wahrhe i t swe r t -
funktionen einschränkt. Wir erklären diesen axiomatischen Ansatz exemplarisch am
Beispiel der Konjunktion.
Wir betrachten als potentiellen Kandidaten für die Wahrheitswertfunktion der
Konjunktion die Funktion
t
: [0, 1]
2
[0, 1].DerWahrheitswerteinerKonjunktion
mehrerer Aussagen hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der man die Aussagen
konjunktiv verknüpft. Umdiese Eigenschaft zu garantieren, muss
t
kommutativ und
assoziativ sein, d. h., es muss gelten:
(
T
1
)
t
(
,
)=
t
(
,
)
(
T
2
)
t
(
t
(
,
)
,
)=
t
(
,
t
(
,
))
.
Der Wahrheitswert der Konjunktion
sollte nicht kleiner als der Wahrheits-
wert der Konjunktion
sein, wenn
einen geringeren Wahrheitswert besitzt als
.DieserreichenwirdurchdieMonotonievon
t
:
(T3) Aus
folgt
t
(
,
)=
t
(
,
)
.
Aufgrund der Kommutativität (T1) ist
t
mit (T3) in beiden Argumenten monoton
nicht-fallend.
