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berechnet
y
1
=
x
1
x
2
2
x
1
1
berechnet
y
=
y
1
y
2
2
2
y
=
x
1
x
2
3
2
2
x
2
1
2
berechnet
y
2
=
x
2
x
1
Abbildung 3.10: Zusammenschalten mehrerer Schwellenwertelemente.
Schwellenwertelemente betrachtet. Man kann die Berechnungsfähigkeiten von den
Schwellenwerten deutlich erhöhen, wenn man mehrere Schwellenwertelemente zu-
sammenschaltet, also zu Netzen von Schwellenwertelementen übergeht.
Als Beispiel betrachten wir eine mögliche Lösung des Biimplikationsproblems
mit Hilfe von drei Schwellenwertelementen, die in zwei Schichten angeordnet sind.
Diese Lösung nutzt die logische Äquivalenz
x
1
x
2
(
x
1
x
2
) (
x
2
x
1
)
aus, durch die die Biimplikation in drei Funktionen zerlegt wird. Aus den Abbil-
dungen 3.3 und 3.6 wissen wir bereits, dass die Implikation
x
2
x
1
linear separa-
bel ist. In der Implikation
x
1
x
2
sind nur die Variablen vertauscht, also ist auch
sie linear separabel. Schließlich wissen wir aus den Abbildungen 3.2 und 3.5, dass
die Konjunktion zweier Boolescher Variablen linear separabel ist. Wir brauchen also
nur die entsprechenden Schwellenwertelemente zusammenzuschalten, siehe Abbil-
dung 3.10.
Anschaulich berechnen die beiden linken Schwellenwertelemente (erste Schicht)
neue Boolesche Koordinaten
y
1
und
y
2
für die Eingabevektoren, so dass die trans-
formierten Eingabevektoren im Eingaberaum des rechten Schwellenwertelementes
(zweite Schicht) linear separabel sind. Dies ist in Abbildung 3.11 veranschaulicht.
Die Trenngerade
g
1
entspricht dem oberen Schwellenwertelement und beschreibt
die Implikation
y
1
=
x
1
x
2
:FürallePunkteoberhalbdieserGeradenwirdeine1,
für alle Punkte unterhalb eine 0 geliefert. Die Trenngerade
g
2
gehört zum unteren
Schwellenwertelement und beschreibt die Implikation
y
2
=
x
2
x
1
:FürallePunk-
te oberhalb dieser Geraden wird eine 0, für alle Punkte unterhalb eine 1 geliefert.
Durch die beiden linken Schwellenwertelemente werden daher dem Eingabevek-
tor
b
ˆ
=(
x
1
,
x
2
)=(
1, 0
)
die neuen Koordinaten
(
y
1
,
y
2
)=(
0, 1
)
,demEingabevektor
d
ˆ
=(
x
1
,
x
2
)=(
0, 1
)
die neuen Koordinaten
(
y
1
,
y
2
)=(
1, 0
)
und sowohl dem Einga-
bevektor
a
ˆ
=(
x
1
,
x
2
)=(
0, 0
)
als auch dem Eingabevektor
c
ˆ
=(
x
1
,
x
2
)=(
1, 1
)
die
neuen Koordinaten (
y
1
,
y
2
)=(1, 1) zugeordnet (siehe Abbildung 3.11 rechts). Nach
dieser Transformation lassen sich die Eingabevektoren, für die eine 1 geliefert wer-
den soll, leicht von jenen trennen, für die eine 0 geliefert werden soll, nämlich z. B.
durch die in Abbildung 3.11 rechts gezeigte Gerade
g
3
.
Man kann zeigen, dass sich alle Booleschen Funktionen einer beliebigen Zahl von
Eingaben durch Netze von Schwellenwertelementen berechnen lassen, indem man
diese Funktionen durch Ausnutzen logischer Äquivalenzen so zerlegt, dass alle auf-
