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y
v
0
cos
Abbildung 9.7: Schräger Wurf
eines Körpers.
v
0
sin
y
0
x
x
0
schnitt — die Zwischengrößen
v
x
=
x
und
v
y
=
y
einführen, gelangen wir zu dem
Differentialgleichungssystem
x
=
v
x
,
v
x
=
0,
y
=
v
y
,
v
y
=
g
,
aus dem wir die Rekursionsformeln
x
(
t
i
)=
x
(
t
i
1
)+
tv
x
(
t
i
1
),
v
x
(
t
i
)=
v
x
(
t
i
1
),
y
(
t
i
)=
y
(
t
i
1
)+
tv
y
(
t
i
1
),
v
y
(
t
i
)=
v
y
(
t
i
1
)
tg
,
erhalten. Das Ergebnis ist ein rückgekoppeltes neuronales Netz aus zwei unabhän-
gigen Teilnetzen mit je zwei Neuronen, von denen eines die Ortskoordinate und das
andere die zugehörige Geschwindigkeit fortschreibt.
Natürlicher erscheint es jedoch, wenn man die beiden Koordinaten
x
und
y
zu ei-
nem Ortsvektor
r
des Körpers zusammenfasst. Da sich die Ableitungsregeln direkt
von skalaren Funktionen auf vektorielle Funktionen übertragen (siehe z. B. [Greiner
1989]), sind wir berechtigt, die Ableitungen dieses Ortsvektors genauso zu behan-
deln wie die eines Skalars. Die Differentialgleichung, von der wir in diesem Fall
ausgehen, ist
¨
r
=
g
e
y
.
e
y
=(
0, 1
)
ist hier der Einheitsvektor in
y
-Richtung, mit Hilfe dessen die Rich-
tung angegeben wird, in der die Schwerkraft wirkt. Die Anfangsbedingungen sind
r
(
t
0
)=
r
0
=(
x
0
,
y
0
)
und
˙
r
(
t
0
)=
v
0
=(
v
0
cos
,
v
0
sin
)
.Wiederführenwireine
(nun allerdings vektorielle) Zwischengröße
v
=
˙
r
ein, um das Differentialgleichungs-
system
r
=
v
,
˙
˙
v
=
g
e
y
zu erhalten. Aus diesem System lesen wir die Rekursionsformeln
r
(
t
i
)=
r
(
t
i
1
)+
t v
(
t
i
1
)
,
v
(
t
i
)=
v
(
t
i
1
)
tg
e
y
ab, die sich durch zwei vektorielle Neuronen darstellen lassen.
Die Vorteile einer solchen vektoriellen Darstellung, die bis jetzt vielleicht noch
gering erscheinen, werden offensichtlich, wenn wir in einer Verfeinerung des Mo-
dells des schrägen Wurfs den Luftwiderstand berücksichtigen. Bei der Bewegung
eines Körpers in einemMedium (wie z. B. Luft) unterscheidet man zwei Formen der
Reibung: die zur Geschwindigkeit des Körpers proportionale
Stokessche Reibung
und
die zumQuadrat seiner Geschwindigkeit proportionale
Newtonsche Reibung
[Greiner