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y
v 0 cos
Abbildung 9.7: Schräger Wurf
eines Körpers.
v 0 sin
y 0
x
x 0
schnitt — die Zwischengrößen v x = x und v y = y einführen, gelangen wir zu dem
Differentialgleichungssystem
x = v x ,
v x = 0,
y = v y ,
v y = g ,
aus dem wir die Rekursionsformeln
x ( t i )= x ( t i 1 )+ tv x ( t i 1 ),
v x ( t i )= v x ( t i 1 ),
y ( t i )= y ( t i 1 )+ tv y ( t i 1 ),
v y ( t i )= v y ( t i 1 ) tg ,
erhalten. Das Ergebnis ist ein rückgekoppeltes neuronales Netz aus zwei unabhän-
gigen Teilnetzen mit je zwei Neuronen, von denen eines die Ortskoordinate und das
andere die zugehörige Geschwindigkeit fortschreibt.
Natürlicher erscheint es jedoch, wenn man die beiden Koordinaten x und y zu ei-
nem Ortsvektor r des Körpers zusammenfasst. Da sich die Ableitungsregeln direkt
von skalaren Funktionen auf vektorielle Funktionen übertragen (siehe z. B. [Greiner
1989]), sind wir berechtigt, die Ableitungen dieses Ortsvektors genauso zu behan-
deln wie die eines Skalars. Die Differentialgleichung, von der wir in diesem Fall
ausgehen, ist
¨
r = g e y .
e y =( 0, 1 ) ist hier der Einheitsvektor in y -Richtung, mit Hilfe dessen die Rich-
tung angegeben wird, in der die Schwerkraft wirkt. Die Anfangsbedingungen sind
r ( t 0 )= r 0 =( x 0 , y 0 ) und ˙
r ( t 0 )= v 0 =( v 0 cos , v 0 sin ) .Wiederführenwireine
(nun allerdings vektorielle) Zwischengröße v = ˙
r ein, um das Differentialgleichungs-
system
r = v , ˙
˙
v = g e y
zu erhalten. Aus diesem System lesen wir die Rekursionsformeln
r ( t i )= r ( t i 1 )+ t v ( t i 1 ) ,
v ( t i )= v ( t i 1 ) tg e y
ab, die sich durch zwei vektorielle Neuronen darstellen lassen.
Die Vorteile einer solchen vektoriellen Darstellung, die bis jetzt vielleicht noch
gering erscheinen, werden offensichtlich, wenn wir in einer Verfeinerung des Mo-
dells des schrägen Wurfs den Luftwiderstand berücksichtigen. Bei der Bewegung
eines Körpers in einemMedium (wie z. B. Luft) unterscheidet man zwei Formen der
Reibung: die zur Geschwindigkeit des Körpers proportionale Stokessche Reibung und
die zumQuadrat seiner Geschwindigkeit proportionale Newtonsche Reibung [Greiner
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