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x 0
x ( t )
0
t
Abbildung 9.6: Allgemeine Struktur ei-
nes rückgekoppelten neuronalen Net-
zes zur Darstellung einer expliziten Dif-
ferentialgleichung n -ter Ordnung. Die
Gewichte der Rückkopplungen und
die Eingabefunktion des zweituntersten
Neurons hängen von der Form der Dif-
ferentialgleichung ab. Natürlich kann
aus dem Netz nicht nur x ( t ) ,sondern
auch x ( t ) , x ( t ) etc. abgelesen werden.
x 0
0
t
x 0
0
t
t
x ( n 1)
0
t 0
t
und die Identität als Ausgabefunktion. Die Gewichte der Verbindungen zum zweit-
untersten Neuron, sein Biaswert sowie seine Netzeingabe-, Aktivierungs- und Aus-
gabefunktion hängen von der Form der Differentialgleichung ab. Handelt es sich
z. B. um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, so ist die
Netzeingabefunktion eine gewichte Summe (wie bei Neuronen eines mehrschichti-
gen Perzeptrons), die Aktivierungsfunktion eine lineare Funktion und die Ausgabe-
funktion die Identität.
9.3 Vektorielle neuronale Netze
Bisher haben wir nur Differentialgleichungen einer Funktion x ( t ) betrachtet. In der
Praxis findet man jedoch oft auch Systeme von Differentialgleichungen, in denen
mehr als eine Funktion auftritt. Ein einfaches Beispiel sind die Differentialgleichun-
gen einer zweidimensionalen Bewegung, z. B. eines schrägen Wurfs: Ein (punktför-
miger) Körper werde zum Zeitpunkt t 0 vom Punkt ( x 0 , y 0 ) eines Koordinatensy-
stems mit horizontaler x -Achse und vertikaler y -Achse geworfen, und zwar mit der
Anfangsgeschwindigkeit v 0 = v ( t 0 ) und unter dem Winkel ,0 2 ,gegen
die x -Achse (siehe Abbildung 9.7). In diesem Fall sind die Funktionen x ( t ) und y ( t )
zu bestimmen, die den Ort des Körpers zum Zeitpunkt t angeben. Wenn wir die
Luftreibung vernachlässigen, haben wir die Gleichungen
x = 0
y = g ,
und
wobei g = 9.81ms 2 die Fallbeschleunigung auf der Erde ist. D. h. der Körper be-
wegt sich in horizontaler Richtung gleichförmig (unbeschleunigt) und in vertikaler
Richtung durch die Erdanziehung nach unten beschleunigt. Außerdem haben wir
die Anfangsbedingungen x ( t 0 )= x 0 , y ( t 0 )= y 0 , x ( t 0 )= v 0 cos und y ( t 0 )=
v 0 sin . Indem wir — nach dem allgemeinen Prinzip aus dem vorangehenden Ab-
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