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rückgekoppelte neuronale Netze darstellen lassen: Eine gegebene explizite Differen-
tialgleichung
n
-ter Ordnung
x
(
n
)
=
f
(
t
,
x
,
x
,
x
,...,
x
(
n
1
)
)
(
x
bezeichnet die erste,
x
die zweite und
x
(
i
)
die
i
-te Ableitung von
x
nach
t
)wird
durch Einführung der
n
1Zwischengrößen
y
n
1
=
x
(
n
1
)
y
1
=
x
,
y
2
=
x
,
. . .
in das System
x
=
y
1
,
y
1
=
y
2
,
.
y
n
2
=
y
n
1
,
y
n
1
=
f
(
t
,
x
,
y
1
,
y
2
,...,
y
n
1
)
von
n
gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung überführt. Wie in den
beiden Beispielen aus dem vorangehenden Abschnitt wird dann in jeder dieser Glei-
chungen der Differentialquotient durch einen Differenzenquotienten ersetzt, womit
sich die
n
Rekursionsformeln
x
(
t
i
)=
x
(
t
i
1
)+
t
·
y
1
(
t
i
1
),
y
1
(
t
i
)=
y
1
(
t
i
1
)+
t
·
y
2
(
t
i
1
)
,
.
y
n
2
(
t
i
)=
y
n
2
(
t
i
1
)+
t
·
y
n
3
(
t
i
1
)
,
y
n
1
(
t
i
)=
y
n
1
(
t
i
1
)+
f
(
t
i
1
,
x
(
t
i
1
)
,
y
1
(
t
i
1
)
,...,
y
n
1
(
t
i
1
))
ergeben. Für jede dieser Gleichungen wird ein Neuron angelegt, das die auf der lin-
ken Seite der Gleichung stehende Größe mit Hilfe der rechten Seite fortschreibt. Ist
die Differentialgleichung direkt von
t
abhängig (und nicht nur indirekt über die von
t
abhängigen Größen
x
,
x
etc.), so ist ein weiteres Neuron nötig, das den Wert von
t
mit Hilfe der einfachen Formel
t
i
=
t
i
1
+
t
fortschreibt. Es entsteht so das in Abbildung 9.6 gezeigte rückgekoppelte neuronale
Netz. Das unterste Neuron schreibt nur die Zeit fort, indem in jedem Berechnungs-
schritt der Biaswert
t
von der aktuellen Aktivierung abgezogen wird. Die oberen
n
1 Neuronen haben die Netzeingabefunktion
f
(
u
)
net
(
z
,
w
)=
wz
=
tz
,
die Aktivierungsfunktion
f
(
u
)
act
(
act
u
,net
u
,
u
)=
act
u
+
net
u
u
