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Durch diese beiden Bedingungen wird die triviale Lösung (alle m ij = 0) ausgeschlos-
sen. Da diese beiden Bedingungen die gleiche Struktur haben, führen wir nur für die
erste die Umformung in eine Energiefunktion im einzelnen vor. Die erste Bedingung
ist offenbar genau dann erfüllt, wenn
2
n
j =1
n
i =1 m ij 1
E
2 =
= 0.
Da E
2 wegen der quadratischen Summanden nicht negativ werden kann, wird die
erste Nebenbedingung genau dann erfüllt, wenn E
2 minimiert wird. Eine einfache
Umformung durch Ausrechnen des Quadrates ergibt
2
n
j = 1
n
i = 1 m ij
n
i = 1 m ij + 1
2 =
2
E
n
j = 1
n
i 1 = 1
n
i 2 = 1
n
i = 1 m ij + 1
=
m i 1 j
m i 2 j
2
n
j =1
n
i 1 =1
n
i 2 =1
n
j =1
n
i =1 m ij + n .
=
2
m i 1 j m i 2 j
Den konstanten Term n können wir vernachlässigen, da er bei der Minimierung die-
ser Funktion keine Rolle spielt. Um die Form einer Energiefunktion zu erhalten, müs-
sen wir nun nur noch mit Hilfe des gleichen Prinzips, das wir schon bei der Zielfunk-
tion E 1 angewandt haben, die Summation über die Städte (Index j )verdoppeln.Das
führt auf
( i 1 , j 1 ){1,..., n } 2
( i 2 , j 2 ){1,..., n } 2
( i , j ){1,..., n } 2
E 2 =
j 1 j 2
· m i 1 j 1
· m i 2 j 2 2
m ij .
Durch Hineinziehen des Faktors 2inbeideSummenerhaltenwirschließlich
E 2 = 1
2
( i 1 , j 1 ){1,..., n } 2
( i 2 , j 2 ){1,..., n } 2
( i , j ){ 1,..., n } 2
2 j 1 j 2
· m i 1 j 1
· m i 2 j 2 +
2 m ij
und damit die Form einer Energiefunktion eines Hopfield-Netzes. In völlig analoger
Weise erhalten wir aus der zweiten Nebenbedingung
E 3 = 1
2
( i 1 , j 1 ){1,..., n } 2
( i 2 , j 2 ){1,..., n } 2
( i , j ){1,..., n } 2
2 i 1 i 2
· m i 1 j 1
· m i 2 j 2 +
2 m ij .
Aus den drei Energiefunktionen E 1 (Zielfunktion), E 2 (erste Nebenbedingung) und
E 3 (zweite Nebenbedingung) setzen wir schließlich die Gesamtenergiefunktion
E = aE 1 + bE 2 + cE 3
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