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Durch diese beiden Bedingungen wird die triviale Lösung (alle
m
ij
=
0) ausgeschlos-
sen. Da diese beiden Bedingungen die gleiche Struktur haben, führen wir nur für die
erste die Umformung in eine Energiefunktion im einzelnen vor. Die erste Bedingung
ist offenbar genau dann erfüllt, wenn
2
n
j
=1
n
i
=1
m
ij
1
E
2
=
=
0.
Da
E
2
wegen der quadratischen Summanden nicht negativ werden kann, wird die
erste Nebenbedingung genau dann erfüllt, wenn
E
2
minimiert wird. Eine einfache
Umformung durch Ausrechnen des Quadrates ergibt
2
n
j
=
1
n
i
=
1
m
ij
n
i
=
1
m
ij
+ 1
2
=
2
E
n
j
=
1
n
i
1
=
1
n
i
2
=
1
n
i
=
1
m
ij
+
1
=
m
i
1
j
m
i
2
j
2
n
j
=1
n
i
1
=1
n
i
2
=1
n
j
=1
n
i
=1
m
ij
+
n
.
=
2
m
i
1
j
m
i
2
j
Den konstanten Term
n
können wir vernachlässigen, da er bei der Minimierung die-
ser Funktion keine Rolle spielt. Um die Form einer Energiefunktion zu erhalten, müs-
sen wir nun nur noch mit Hilfe des gleichen Prinzips, das wir schon bei der Zielfunk-
tion
E
1
angewandt haben, die Summation über die Städte (Index
j
)verdoppeln.Das
führt auf
(
i
1
,
j
1
){1,...,
n
}
2
(
i
2
,
j
2
){1,...,
n
}
2
(
i
,
j
){1,...,
n
}
2
E
2
=
j
1
j
2
·
m
i
1
j
1
·
m
i
2
j
2
2
m
ij
.
Durch Hineinziehen des Faktors 2inbeideSummenerhaltenwirschließlich
E
2
=
1
2
(
i
1
,
j
1
){1,...,
n
}
2
(
i
2
,
j
2
){1,...,
n
}
2
(
i
,
j
){
1,...,
n
}
2
2
j
1
j
2
·
m
i
1
j
1
·
m
i
2
j
2
+
2
m
ij
und damit die Form einer Energiefunktion eines Hopfield-Netzes. In völlig analoger
Weise erhalten wir aus der zweiten Nebenbedingung
E
3
=
1
2
(
i
1
,
j
1
){1,...,
n
}
2
(
i
2
,
j
2
){1,...,
n
}
2
(
i
,
j
){1,...,
n
}
2
2
i
1
i
2
·
m
i
1
j
1
·
m
i
2
j
2
+
2
m
ij
.
Aus den drei Energiefunktionen
E
1
(Zielfunktion),
E
2
(erste Nebenbedingung) und
E
3
(zweite Nebenbedingung) setzen wir schließlich die Gesamtenergiefunktion
E
=
aE
1
+
bE
2
+
cE
3