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Abbildung 8.8: In einem Hopfield-Netz gespeicherte Beispielmuster (links) und die
Rekonstruktion eines Musters aus gestörten Eingaben (rechts).
Auf diese Weise haben wir das Training des Hopfield-Netzes auf das Training eines
Schwellenwertelementes mit dem Schwellenwert 0 und dem Gewichtsvektor
w
für
die Trainingsmuster
l
i
=(
z
i
,act
(
p
)
u
i
)
zurückgeführt, das wir z. B. mit der Delta-Regel
trainieren können (vergleiche Abschnitt 3.5). Bei mehreren zu speicherndenMustern
erhält man entsprechend mehr Eingabemuster
z
i
.Esistallerdingszubemerken,dass
diese Möglichkeit des Trainings eher von theoretischem Interesse ist.
Um die Anwendung eines Hopfield-Netzes zur Mustererkennung anschaulich
darzustellen, betrachten wir ein Beispiel zur Zahlenerkennung (nach einem Beispiel
von Haykin [2008]). In einem Hopfield-Netz mit 10
12
=
120 Neuronen werden
die in Abbildung 8.8 links gezeigten Muster gespeichert, wobei ein schwarzes Feld
durch
+
1, ein weißes durch
1kodiertwird.DiesoentstehendenMustervektoren
sind zwar nicht genau, aber hinreichend orthogonal, so dass sie alle mit dem oben
betrachteten Verfahren zu stabilen Zuständen eines Hopfield-Netzes gemacht wer-
den können. Legt man ein Muster an das so bestimmte Hopfield-Netz an, so wird
durch die Berechnungen des Netzes eines dieser abgespeicherten Muster rekonstru-
iert, wie Abbildung 8.8 rechts zeigt. Man beachte allerdings, dass zwischen zwei
in der Abbildung aufeinanderfolgenden Diagrammen mehrere Berechnungsschritte
liegen.
Um dieses Beispiel besser nachvollziehen zu können, stehen unter
http://www.computational-intelligence.eu
die Programme
whopf
(für Microsoft Windows
TM
)und
xhopf
(für Linux) zur Verfü-
gung. Mit diesen Programmen können zweidimensionale Muster in einemHopfield-
Netz abgespeichert und wieder abgerufen werden. Die in Abbildung 8.8 gezeigten
Muster sind als ladbare Datei vorhanden.
Mit diesen Programmen zeigen sich allerdings auch einige Probleme des betrach-
teten Verfahrens. Wie wir bereits wissen, werden mit der oben angegebenen Metho-
de zur Berechnung der Gewichtsmatrix nicht nur die abgespeicherten Muster son-
dern auch ihre Komplemente zu stabilen Zuständen, so dass mitunter auch diese als
Ergebnis ausgegeben werden. Neben diesen Mustern sind jedoch auch noch weite-
re Muster stabile Zustände, die zum Teil nur geringfügig von den abgespeicherten
abweichen. Diese Probleme ergeben sich u. a. daraus, dass die Muster nicht genau
orthogonal sind.
