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Die Gewichtsmatrix des Hopfield-Netzes lautet folglich
000
2
00
20
0
200
2000
W
=
.
Wie man leicht nachprüft, ist mit dieser Matrix
.
W
p
1
=(+
2,
+
2,
2,
2
)
und
W
p
1
=(
2,
+
2,
2,
+
2
)
Also sind in der Tat beide Muster stabile Zustände. Aber auch ihre Komplemente,
also die Muster
p
2
=(+
1,
1,
+
1,
1
)
sind stabile
Zustände, wie eine entsprechende Rechnung zeigt.
Eine andere Möglichkeit, die Parameter eines Hopfield-Netzes zu bestimmen,
ist, das Netz auf ein einfaches Schwellenwertelement abzubilden, das dann mit der
Delta-Regel trainiert wird [Rojas 1996]. Dazu geht man wie folgt vor: Soll ein Mu-
ster
p
=(
act
(
p
)
p
1
=(
1,
1,
+
1,
+
1
)
und
u
1
,...,act
(
p
)
u
n
) {
1, 1
}
n
stabiler Zustand eines Hopfield-Netzes sein,
so muss gelten
+
w
u
1
u
2
act
(
p
)
u
2
+
...
+
w
u
1
u
n
act
(
p
)
u
1
)=
act
(
p
)
s
(
0
,
u
n
u
1
s
(
w
u
2
u
1
act
(
p
)
+
...
+
w
u
2
u
n
act
(
p
)
u
2
)=
act
(
p
)
u
1
+
0
,
u
n
u
2
.
.
.
.
.
s
(
w
u
n
u
1
act
(
p
)
u
1
+
w
u
n
u
2
act
(
p
)
u
n
)=act
(
p
)
u
2
+ ... + 0
.
u
n
mit der üblichen Schwellenwertfunktion
1,
falls
x
0,
s
(
x
)=
1,
sonst.
Zum Training wandeln wir die Gewichtsmatrix in einen Gewichtsvektor um, indem
wir die Zeilen des oberen Dreiecks der Matrix durchlaufen (ohne Diagonale, das
untere Dreieck wird wegen der Symmetrie der Gewichte nicht benötigt) und den
Ve k t o r de r ne g i e r t en S c hwe l l enwe r t e anhängen :
w
=(
w
u
1
u
2
,
w
u
1
u
3
,
. . . ,
w
u
1
u
n
,
w
u
2
u
3
,
. . . ,
w
u
2
u
n
,
.
.
.
.
w
u
n
1
u
n
,
u
1
,
u
2
,
. . . ,
u
n
)
.
Zu diesem Gewichtsvektor lassen sich Eingabevektoren
z
1
,...,
z
n
finden, so dass
sich die in den obigen Gleichungen auftretenden Argumente der Schwellenwert-
funktion als Skalarprodukte
w
z
i
schreiben lassen. Z. B. ist
z
2
=(
act
(
p
)
act
(
p
)
u
3
,...,act
(
p
)
u
1
,0,...,0,
u
n
,...0,1, 0,...,0
)
.
n
2Nullen
n
2Nullen
