Hopfield-Netze - Computational Intelligence - page 123

8.3 Assoziativspeicher

Hopfield-Netze eignen sich sehr gut als sogenannte Assoziativspeicher ,d.h.alsSpei-
cher, die über ihren Inhalt adressiert werden. Wenn man an einen Assoziativspeicher
ein Muster anlegt, erhält man als Antwort, ob es mit einem der abgespeicherten Mu-
ster übereinstimmt. Diese Übereinstimmung muss nicht unbedingt exakt sein. Ein
Assoziativspeicher kann auch zu einemangelegtenMuster ein abgespeichertes, mög-
lichst ähnliches Muster liefern, so dass auch „verrauschte“ Eingabemuster erkannt
werden können.
Hopfield-Netze werden als Assoziativspeicher eingesetzt, indem man die Eigen-
schaft ausnutzt, dass sie stabile Zustände besitzen, von denen auf jeden Fall einer
erreicht wird. Denn wenn man die Gewichte und Schwellenwerte eines Hopfield-
Netzes gerade so bestimmt, dass die abzuspeicherndenMuster die stabilen Zustände
sind, so wird durch die normalen Berechnungen des Hopfield-Netzes zu jedem Ein-
gabemuster ein ähnliches abgespeichertes Muster gefunden. Auf diese Weise kön-
nen „verrauschte“Muster korrigiert oder auch mit Fehlern behaftete Muster erkannt
werden.
Um die folgenden Ableitungen einfach zu halten, betrachten wir zunächst die
Speicherung nur eines Musters p =( act u 1 ,...,act u n )

{ 1, 1 } n , n 2. Dazu
müssen wir die Gewichte und Schwellenwerte so bestimmen, dass dieses Muster
ein stabiler Zustand (auch: Attraktor) des Hopfield-Netzes ist. Folglich muss gelten

S ( W p )= p ,

wobei W die Gewichtsmatrix des Hopfield-Netzes, =( u 1 ,..., u n ) der Vektor
der Schwellenwerte und S eine Funktion
S :IR n {1, 1} n ,
x y

ist, wobei der Vektor y bestimmt ist durch

1, falls x i 0,
1, sonst.

i {1, . . . , n } : y i =

Die Funktion S ist also eine Art elementweiser Schwellenwertfunktion.
Setzt man = 0, d. h., setzt man alle Schwellenwerte 0, so lässt sich eine passende
Matrix W leicht finden, denn dann genügt es offenbar, wenn gilt

mit c IR + . W p = cp

Algebraisch ausgedrückt: Gesucht ist eine Matrix W ,diebezüglich p einen positiven
Eigenwert c hat. 2 Wir wählen nun

W = pp T E

mit der n n Einheitsmatrix E . pp T ist das sogenannte äußere Produkt des Vektors p
mit sich selbst. Es liefert eine symmetrische n n Matrix. Die Einheitsmatrix E muss

2 In der linearen Algebra beschäftigt man sich dagegen meist mit dem umgekehrten Problem, d. h., zu
einer gegebenen Matrix die Eigenwerte und Eigenvektoren zu finden.