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Tabelle 8.2: Werden die Aktivierungen der Neuronen des Hopfield-Netzes aus Abbil-
dung 8.1 abwechselnd neu berechnet, wird jeweils ein stabiler Zustand erreicht. Die
erreichten Zustände sind allerdings verschieden.
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Abbildung 8.4: Zustands-
graph des Hopfield-Netzes
aus Abbildung 8.2. An den
Pfeilen sind die Neuronen
angegeben, deren Aktualisie-
rung zu dem entsprechenden
Zustandsübergang führt. Die
beiden stabilen Zustände sind
grau unterlegt.
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den Pfeilen stehen die Neuronen, deren Aktualisierung zu dem entsprechenden Zu-
standsübergang führt. Da für jeden Zustand Übergänge für jedes der drei Neuronen
angegeben sind, kann man aus diesem Graphen die Zustandsübergänge für beliebi-
ge Reihenfolgen ablesen, in denen die Aktivierungen der Neuronen neu berechnet
werden. Wie man sieht, wird schließlich auf jeden Fall einer der beiden stabilen Zu-
stände (1, 1, 1) oder (1, 1, 1) erreicht.
8.2 Konvergenz der Berechnungen
Wie wir an den Beispielen des vorangehenden Abschnitts gesehen haben, kann es zu
Oszillationen kommen, wenn die Aktivierungen der verschiedenen Neuronen syn-
chron neu berechnet werden. Bei asynchronen Neuberechnungen stellte sich in den
betrachteten Beispielen jedoch stets ein stabiler Zustand ein. In der Tat kann man
allgemein zeigen, dass bei asynchronem Neuberechnen der Aktivierungen keine Os-
zillationen auftreten können.
Satz 8.1 (Konvergenzsatz für Hopfield-Netze)
Werden die Aktivierungen der Neuronen eines Hopfield-Netzes asynchron neu berechnet,
so wird nach endlich vielen Schritten ein stabiler Zustand erreicht. Bei zyklischem Durch-
