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u 1
Abbildung 8.1: Ein einfaches Hopfield-
Netz, das bei paralleler Aktualisierung
der Aktivierungen der beiden Neuro-
nen oszillieren kann, aber bei abwech-
selnder Aktualisierung einen stabilen
Zustand erreicht.
x 1
y 1
0
1
1
x 2
y 2
0
u 2
x 1
y 1
0
Abbildung 8.2: Ein einfaches Hopfield-
Netz mit drei Neuronen u 1 , u 2 und u 3
(von oben nach unten).
1
1
2
y 2
x 2
0
2
1
1
y 3
x 3
0
Neuron darstellt. Ein weiteres Beispiel für ein einfaches Hopfield-Netz zeigt Abbil-
dung 8.2. Die Gewichtsmatrix dieses Netzes ist
012
101
210
W =
.
Wieder haben alle Neuronen den Schwellenwert 0. Bei diesem Beispiel wird deut-
lich, dass die hohe Zahl der Verbindungen die Darstellung unübersichtlich machen
kann. Um zu einer einfacheren Darstellung zu gelangen, nutzen wir aus, dass jedes
Neuron sowohl Eingabe- als auch Ausgabeneuron ist. Wir brauchen daher die Ein-
und Ausgabepfeile nicht explizit anzugeben, denn diese dienen ja eigentlich nur da-
zu, die Eingabe- und Ausgabeneuronen zu kennzeichnen. Weiter wissen wir, dass
die Gewichte symmetrisch sein müssen. Es bietet sich daher an, die Verbindungen
zweier Neuronen zu einem Doppelpfeil zusammenzufassen, an den nur einmal das
Gewicht geschrieben wird. Wir erhalten so die in Abbildung 8.3 gezeigte Darstel-
lung.
Wenden wir uns nun den Berechnungen eines Hopfield-Netzes zu. Wir betrach-
ten dazu das Hopfield-Netz mit zwei Neuronen aus Abbildung 8.1. Wir nehmen
an, dass dem Netz die Werte x 1 = 1und x 2 = 1eingegebenwerden.Dasbe-
deutet, dass in der Eingabephase die Aktivierung des Neurons u 1 auf den Wert 1
gesetzt wird (act u 1 = 1) und die Aktivierung des Neurons u 2 auf den Wert 1 ge-
setzt wird (act u 2 = 1). So sind wir auch bisher vorgegangen (gemäß der allgemeinen
Beschreibung der Arbeitsweise eines Neurons, wie sie in Abschnitt 4.2 gegeben wur-
de). Durch den Kreis in dem Graphen, der diesem Netz zugrundeliegt, stellt sich
nun aber die Frage, wie in der Arbeitsphase die Aktivierungen der Neuronen neu
berechnet werden sollen. Bisher brauchten wir uns diese Frage nicht zu stellen, da
in einem vorwärtsbetriebenen Netz die Berechnungsreihenfolge keine Rolle spielt:
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