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Die Ausgabefunktion jedes Neurons ist die Identität, d. h.
f ( u )
out (act u )=act u .
Man beachte, dass es in einem Hopfield-Netz keine Schleifen gibt, d. h. kein Neu-
ron erhält seine eigene Ausgabe als Eingabe. Alle Rückkopplungen kommen über
andere Neuronen zustande: Ein Neuron u erhält die Ausgaben aller anderen Neuro-
nen als Eingabe und alle anderen Neuronen erhalten die Ausgabe des Neurons u als
Eingabe.
Die Neuronen eines Hopfield-Netzes arbeiten genau wie die Schwellenwertele-
mente, die wir in Kapitel 3 betrachtet haben: Abhängig davon, ob die gewichtete
Summe der Eingaben einen bestimmten Schwellenwert u überschreitet oder nicht,
wird die Aktivierung auf den Wert 1 oder 1gesetzt.ZwarhattenimKapitel3
die Eingaben und Aktivierungen meist die Werte 0 und 1, doch haben wir in Ab-
schnitt 3.6 auch die Variante betrachtet, bei der stattdessen die Werte 1und1ver-
wendet werden. Abschnitt A.3 zeigt, wie die beiden Versionen ineinander umgerech-
net werden können.
Manchmal wird die Aktivierungsfunktion der Neuronen eines Hopfield-Netzes
aber auch unter Verwendung der alten Aktivierung act u so definiert:
u U :
1, falls net u > u ,
1, falls net u < u ,
act u , fasn u = u .
f ( u )
u U :
act ( net u , u ,act u )=
Dies ist vorteilhaft für die physikalische Interpretation eines Hopfield-Netzes (siehe
unten) und vereinfacht auch etwas einen Beweis, den wir im nächsten Abschnitt
führen werden. Dennoch halten wir uns an die oben angegebene Definition, weil sie
an anderen Stellen Vorteile bietet.
Für die Darstellung der Ableitungen der folgenden Abschnitte ist es wieder gün-
stig, die Verbindungsgewichte in einer Gewichtsmatrix darzustellen (vergleiche die
Kapitel 4 und 5). Dazu setzen wir die fehlenden Gewichte w uu = 0(Selbstrückkopp-
lungen), was bei der speziellen Netzeingabefunktion von Hopfield-Neuronen einer
fehlenden Verbindung gleichkommt. Wegen der symmetrischen Gewichte ist die Ge-
wichtsmatrix natürlich symmetrisch (sie stimmt mit ihrer Transponierten überein)
und wegen der fehlenden Selbstrückkopplungen ist ihre Diagonale 0. D. h., wir be-
schreiben ein Hopfield-Netz mit n Neuronen u 1 ,..., u n durch die n n Matrix
0
w u 1 u 2
... w u 1 u n
w u 1 u 2
0
. . . w u 2 u n
W =
.
.
.
.
w u 1 u n
w u 2 u n
... 0
Als erstes Beispiel für ein Hopfield-Netz betrachten wir das in Abbildung 8.1 gezeig-
te Netz mit zwei Neuronen. Die Gewichtsmatrix dieses Netzes ist
01
10
W =
.
Beide Neuronen haben den Schwellenwert 0. Wie bei den Schwellenwertelementen
aus Kapitel 3 schreiben wir diesen Schwellenwert in den Kreis, der das zugehörige
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