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Abbildung 7.2: Voronoi-Diagramm
einer Vektorquantisierung eines
zweidimensionalen Gebietes mit
zehn Referenzvektoren. Es zeigt,
wie der Eingaberaum durch die
Referenzvektoren unterteilt wird.
Abbildung 7.3: Beispiel einer topologieerhaltenden Abbildung: Robinson-Projektion
der Oberfläche einer Kugel in die Ebene, wie sie gern für Weltkarten benutzt wird.
gaberaums zugeordnet werden, für die dieses Neuron die höchste Aktivierung lie-
fert. Bei identischer Abstands- und Aktivierungsfunktion für alle Ausgabeneuronen
kann man auch sagen: EinemAusgabeneuron werden alle Punkte des Eingaberaums
zugeordnet, die näher an seinem Referenzvektor liegen als an einem Referenzvektor
eines anderen Ausgabeneurons. Diese Einteilung in Regionen kann durch ein soge-
nanntes
Voronoi -Diagramm
dargestellt werden, wie es für zweidimensionale Einga-
ben in Abbildung 7.2 dargestellt ist. Die Punkte geben die Lage der Referenzvekto-
ren an, die Linien die Einteilung in Regionen.
Durch die Nachbarschaftsbeziehung der Ausgabeneuronen wird die Vektorquan-
tisierung bestimmten Einschränkungen unterworfen. Es soll erreicht werden, dass
Referenzvektoren, die im Eingaberaum nahe beieinanderliegen, zu Ausgabeneuro-
nen gehören, die einen geringen Abstand voneinander haben. Die Nachbarschafts-
beziehung der Ausgabeneuronen soll also die relative Lage der zugehörigen Refe-
renzvektoren im Eingaberaum wenigstens näherungsweise widerspiegeln. Ist dies
der Fall, so wird durch die selbstorganisierende Karte eine (quantisierte)
topologieer-
haltende Abbildung
beschrieben, d. h., eine Abbildung, die die Lagebeziehungen zwi-
schen Punkten (näherungsweise) erhält (griech.
oo
:Ort,Lage).
Ein Beispiel für eine topologierhaltende Abbildung, nämlich die
Robinson-Projek-
tion
der Oberfläche einer Kugel in die Ebene, wie sie gerne für Weltkarten benutzt
wird, zeigt Abbildung 7.3. Jedem Punkt der Oberfläche der links gezeigten Kugel
wird ein Punkt der rechts gezeigten, näherungsweise ovalen Form zugeordnet. Un-
ter dieser Abbildung bleiben die Lagebeziehungen näherungsweise erhalten, wenn
auch das Verhältnis des Abstands zweier Punkte in der Projektion zum Abstand ih-
rer Urbilder auf der Kugel umso größer ist, je weiter die beiden Punkte vom Äquator
entfernt sind. Die Projektion gibt daher, wenn sie für eineWeltkarte benutzt wird, die
