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x
1
1
2
1
x
2
1
y
1
3
0
0
2
x
2
98
89
=
x
1
0
1
Abbildung 6.15: Ein Radiale-Basisfunktionen-Netz für die Biimplikation mit Maha-
lanobis-Abstand und Rechteck-Aktivierungsfunktion.
entweder eine größere Zahl von radialen Basisfunktionen, die entlang der Punktwol-
ke aufgereiht werden, was die Komplexität des Netzes erhöht, oder man muss sich
damit abfinden, dass auch große Gebiete außerhalb der Punktwolke abgedeckt wer-
den.
In einem solchen Fall wünscht man sich eine Abstandsfunktion, die Ellipsen
(oder allgemein Hyperellipsoide) in beliebiger Lage beschreiben kann. Eine solche
ist der
Mahalanobis-Abstand
,derdefiniertistals
y
)
1
(
x
d
(
x
,
y
)=
(
x
y
)
.
ist eine Matrix, die wegen bestimmter Bezüge zur Statistik, auf die wir hier je-
doch nicht näher eingehen wollen,
Kovarianzmatrix
genannt wird und die die Ani-
sotropie (Richtungsabhängigkeit) des Abstandes beschreibt. Man beachte, dass der
Mahalanobis-Abstand mit dem Euklidischen Abstand identisch ist, wenn für die
Einheitsmatrix gewählt wird.
Um die Möglichkeiten zu illustrieren, die sich aus der Verwendung des Maha-
lanobis-Abstandes ergeben, betrachten wir noch einmal die Biimplikation. Hier er-
möglicht es uns der Mahalanobis-Abstand, mit nur einemNeuron in der versteckten
Schicht auszukommen. Das zugehörige Netz und die nun als zusätzlicher Parame-
ter der Netzeingabefunktion des versteckten Neurons nötige Kovarianzmatrix zeigt
Abbildung 6.15 links. Als Aktivierungsfunktion nehmen wir (wie in den Beispielen
aus den Abbildungen 6.3 und 6.4 auf Seite 82) eine Rechteckfunktion an. Die Be-
rechnungen dieses Netzes sind in Abbildung 6.15 rechts veranschaulicht. Innerhalb
der grau eingezeichneten Ellipse wird eine Ausgabe von 1, außerhalb eine Ausgabe
von 0 erzeugt. Dadurch wird gerade die Biimplikation berechnet.
Für Radiale-Basisfunktionen-Netze, die den Mahalanobis-Abstand verwenden,
lassen sich Gradienten auch für die Formparameter (d. h. die Elemente der Kova-
rianzmatrix) bestimmen. Die entsprechenden Ableitungen folgen i.W. den gleichen
Bahnen wie die in Abschnitt 6.4 angegebenen. Eine explizite Ableitung würde hier
jedoch zu weit führen.
