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Die Ähnlichkeit der oben abgeleiteten Ausdrücke mit den entsprechenden Ausdrü-
cken, wie sie bei der Verteilung eines Biegemomentes gefunden wurden, ist offen-
sichtlich. Auch hier ist ein Widerstandsmoment maßgebend für die größte im Quer-
schnitt auftretende Spannung, die Randspannung, und ein Trägheitsmoment zu-
sammen mit dem Gleitmodul G maßgebend für die Verformung. Das polare Träg-
heitsmoment kennzeichnet den Einfluss von Form und Größe des Querschnitts, der
Gleitmodul G denjenigen des Materials.
Zahlenbeispiel:
Für ein dünnwandiges Rohr mit den Abmessungen r
m
= 10 cm und t = 1 cm aus
Stahl S235 soll das zulässige Torsionsmoment bestimmt werden mit
zul
= 9 kN/cm
2
. Welcher bezogene Drehwinkel ergibt sich dabei?
Mit I
p
= 2 ·
τ
· 10
2
· 10 · 1 = 6283 cm
4
, W
T
= 2 ·
· 10
2
· 1 = 628,3 cm
3
und
π
π
G = 8100 kN/cm
2
ergibt sich:
zul M
=
zul IJ W
⋅
=
9
⋅
628, 3
=
5655 kNcm
=
56,55 kNm
.
T
T
Dabei stellt sich ein der bezogene Drehwinkel
M
5655
1
T
−
4
ϑ=
=
=
1, 1 1 1 0
⋅
.
G
⋅
I
8100
⋅
6283
cm
p
Das bedeutet, dass sich zwei Querschnitte A und B im gegenseitigen Abstand von
einem Zentimeter um den Winkel 1,11 · 10
-4
(gemessen im Bogenmaß) gegenei-
nander verdrehen; ein Punkt des Querschnitts A im Abstand r
1
= 1 cm vom Dreh-
punkt durchläuft dann bei der Verdrehung einen Bogen von b
1
= 1,11 · 10
-4
cm,
wenn Querschnitt B unverdrehbar gehalten wird: ein anderer Punkt - etwa im Ab-
stand r
2
= 10 cm - durchläuft entsprechend b
2
= 11,1 · 10
-4
cm.
Als Nebenprodukt dieser Betrachtung fällt an die Bestätigung, dass auch bei der
Torsion tatsächlich nur sehr kleine Verformungen auftreten, sodass die im Laufe der
Untersuchung des Torsionsproblems gemachten Annahmen und Linearisierungen
berechtigt sind. Schon bei der Biegung haben wir gesehen, dass die Wirtschaftlich-
keit eines Querschnitts abhängt davon, welcher Anteil seiner Fläche im Bereich
großer Spannungen liegt. Das ist auch so bei der Torsion. Wir wollen das an dem
soeben gerechneten Beispiel zeigen. Wählen wir anstelle des dünnwandigen Rohres
eine massive Welle mit R = 10 cm, so ergibt sich zul M
T
= 141 kNm. Das zulässige
Torsionsmoment der massiven Welle ist also 2,5-mal so groß wie diejenige des
Rohres. Da die Querschnittsfläche dieser Welle 5-mal so groß ist wie diejenige des
Rohres, ist die massive Welle wesentlich unwirtschaftlich als das dünnwandige
Rohr.
