Environmental Engineering Reference
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Damit stehen den 5 unbekannten Größen 5 Gleichungen gegenüber. Die Lösung
des Gleichungssystems führt zu den Verschiebungen
F
F
F
F
Ux
;
Ux
Ux
;
Ux
Ux
;
Ux
Ux
.
2
3
2
4
3
5
4
k
k
k
k
e
e
2
e
3
e
4
1.3.2.2 Fachwerke
Bei den Modellen des Zugstabes wurde als selbstverständlich angenommen, dass
das globale und das lokale (elementbezogene) Koordinatensystem in deckungsglei-
cher Ausrichtung vorliegen. Entlang der Elementachse wurde die u-Achse ebenso
wie die x-Achse ausgerichtet. Für diese Anordnungen gelten somit auch die Ele-
ment- und Gesamtsteifigkeitsmatrizen.
Nimmt ein Stabelement wie beispielsweise bei Fachwerkstäben eine beliebige Lage
in der Ebene ein, müssen seine Knotenverschiebungen in die Richtungen des globa-
len Koordinatensystems zerlegt werden. Dieser Übergang zum globalen Koordina-
tensystem wird durch Koordinatentransformationsmatrizen erreicht.
Das Stabelement nach Abb. 1.50. ist über die Knoten N1 und N2 im globalen x-y-
Koordinatensystem generiert. Die Verschiebungen der Knoten u
1,1
und u
1,2
im loka-
len u-v-Koordinatensystem lassen sich in die Komponenten u
1,1 x
, u
1,1 y
, u
1,2 x
, u
1,2 y
zerlegen. Der Winkel
zwischen der globalen x-Achse und der
lokalen u-Achse an. Die Verschiebungen u
1,1
und u
1,2
können damit ausgedrückt
werden durch
ϕ
gibt die Verdrehung
u
u
cos
M
u
sin
M
1
1
1
oder als Matrix
u
u
cos
M
u
sin
M
1
1
2
x
1
2
y
u
ª
º
1
«
»
u
ª
u
º
cos
M
sin
M
0
0
ª
º
«
»
1
1
¬
¼
¬
¼
u
u
0
0
cos
sin
M
M
1
2
1
2
x
«
»
(1.53).
u
¬
¼
1
2
y
y
u
1,2 y
ϕ
E1
k
e
N2
u
1,2 x
u
1,1 y
ϕ
N1
u
1,1 x
x
Abb. 1.50.
Transformation der Verschiebungen
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