Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 48

1.3.2.1 Zug-Druck-Stab
Mit der Herleitung einfacher finiter Elemente aus der Statik lässt sich das prinzipi-
elle Konzept der Finite Elemente Methode erklären. Als klassisches 1-dimensiona-
les Modell der technischen Mechanik ist der gerade Zug-Druck-Stab besonders ge-
eignet.
Der Zug-Druck-Stab kann nur Kräfte in Stabrichtung übertragen und ist damit
hinsichtlich seiner Fähigkeit auf einfache Beanspruchungsmuster begrenzt. Selbst
ein abgesetzter Stab bewirkt keine wesentlich höhere Anforderung, denn mit der
Modellierung als Stabfolge bleibt der grundsätzliche Ansatz erhalten. Erst mit der
Anwendung in Fachwerken erhält der Zug-Druck-Stab eine größere Bedeutung.
Beim 1-dimensionalen Spannungszustand muss ein prismatischer Stab vorliegen,
bei dem die Belastung in Stabrichtung, z. B. in x-Richtung auftritt. Werden keine
Verschiebungen in y- und z-Richtung (

ε yy = ε zz = 0) angenommen, wird die Deh-

nung ε xx die einzige Verschiebungsgröße sein.

Aus dem verallgemeinerten HOOKEschen Gesetz ergibt sich der Zusammenhang
zwischen Spannung und Dehnung nach Gl. 1.31 mit

V E H

xx xx

Für die Spannung σ xx und die Dehnung ε xx gelten für den linear elastischen Zu-

stand

F ' l

V

xx

H

und ,

xx

A l

eingesetzt in Gl. 1.31 und umgestellt nach dem Längenzuwachs Δ l ergibt sich

F l F F

' l

E A

E A k

(1.46). St

l

l (Abb. 1.45.) direkt
abhängig ist von der Kraft F - vorausgesetzt, der Elastizitätsmodul E, die Quer-
schnittsfläche A und die Stablänge l bleiben konstant. Die Umstellung nach der Kraft
F liefert auch die Umkehr - nämlich, zu einer Verschiebung

Gl. 1.46 ermöglicht die Aussage, dass eine Längenänderung Δ

Δ l gehört eine eindeutig

zugeordnete Kraft F. Der Ausdruck für k St in der Form

F

k St

' l

lässt die Federkonstante eines linearen Federelementes erkennen. In anderer Form
ist die Steifigkeit des Stabes mit

E A

k St

l

beschrieben. Es stehen damit Größen zur Verfügung, die eine Analogie zur FE-Dar-
stellung ermöglichen. Es gilt, das physikalische Strukturmodell in ein FEM-Rechen-
modell zu überführen.