Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 38

Torsion: Kräfte wirken in den Querschnittsebenen (Abb. 1.42.) der beiden Stirnsei-
ten und ergeben bezüglich der Stabachse ein Dreh- oder Torsionsmoment. Die Kräf-
te bewirken eine gegenseitige Verdrehung aller Querschnitte zueinander.
Die richtige Erfassung der inneren Kräfte ist insofern bedeutungsvoll, weil mit
ihnen die Art und Größe der Werkstoffbeanspruchung angegeben werden kann.

T
W

W t

Torsionsspannung (1.22)

p

F

Abb. 1.42. Torsion am prismatischen Stab

1.2.2.2 Zur linearen Elastizitätstheorie
Mit der linearen Elastizitätstheorie wird ein großer Teil der Ingenieuraufgaben
abgedeckt. In diesem Gebiet der technischen Festigkeitslehre werden die durch äu-
ßere Lasten hervorgerufenen inneren Kräfte, ausgedrückt durch Spannungen und
Verformungen, untersucht.
Zur Ermittlung von Spannungen und Verformungen muss man von der Definition
des starren Körpers abgehen und Formänderungsbetrachtungen vornehmen. Die
Deformationen werden als klein gegenüber den Abmessungen des Bauteils ange-
nommen. Deshalb können die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Bau-
teil aufgestellt werden.
Der Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Formänderungen wird
durch die Stoffgesetze geliefert. Bei linearen Verhältnissen liegen die HOOKEschen
Gesetzmäßigkeiten vor. In der linearen Theorie führen Überlagerungen der einzel-
nen Belastungsarten auch zu einer Überlagerung der Spannungen und Verformun-
gen bei Beachtung der Richtungen.
Nach der Art der Beanspruchung werden Zug-, Druck-, Biege-, Schub- und Torsi-
onsspannungen unterschieden. Eine auf ein Flächenelement dA wirkende elastische
Spannung lässt sich zerlegen in eine Normalspannung in Richtung der Flächen-

normale und in eine tangential auf das Flächenelement wirkende Schubspannung

σ

.
Legt man im kartesischen Koordinatensystem die z-Achse in Richtung der Normal-
spannung

τ

σ z , treten in der Ebene dA in x- und y-Richtung die Schubspannungen τ zx

und τ zy auf (Abb. 1.43.).

Durch die Spannungsvektoren in 3 senkrecht aufeinanderstehenden Schnitten wird
ein sogenannter Spannungstensor festgelegt. In Abb. 1.43.a wird der Spannungsten-
sor T durch die Spannungsvektoren

τ zy gebildet. Durch einen Spannungsvek-
tor ist der Spannungszustand in einem Punkt eines Körpers vollständig beschrieben.
Der erste Index zeigt die Richtung der Flächennormalen und der zweite Index die
Richtung der Spannungskomponenten an. Für die vollständige Beschreibung der
Spannungszustände ist ein quaderförmiger Körper mit den darauf bezogenen 9 Span-
nungskomponenten notwendig (1.43.b).

σ z , τ zx ,