Torsionsbeanspruchungen - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 410

Bei einem geraden Stab mit gleichbleibendem Querschnitt, der an einem Ende
fest eingespannt ist, lautet die Gleichung für den Verdrehwinkel

M l

T

M

G - Schubmodul (7.4),

G I

t

wobei das Torsionsträgheitsmoment I t bei Kreis- und Kreisringquerschnitten als
polares Torsionsträgheitsmoment I p bezeichnet wird. Es ergeben sich

S

4

I I d

für den Kreisquerschnitt (7.5),

t p

32

S

4
a

4
i

I I ( d d )

für den Kreisringquerschnitt (7.6). t p

32

a)

b)

d

τ tmax

γ τ tmax

P 1

s

M T

ϕ

P 2

l

d

Abb. 7.3. Zylindrischer Torsionsstab:
a) Verdrehwinkel und Verschiebungen,
b) Spannungsverteilung im Querschnitt

M T

Für Verschiebungen an abgesetzten zylindrischen Torsionsstäben mit Kreis- bzw.
Kreisringquerschnitt können die Gl. 7.4 bis 7.6 angewendet werden. Der Verdreh-
winkel

ϕ ges zwischen Anfangs- und Endquerschnitt setzt sich zusammen aus der
Summe der Einzelquerschnitte

ϕ n
Der gesamte Verdrehwinkel an einem zylindrischen Torsionsstab mit Kreisquer-
schnitt (Abb. 7.4.), abgesetzt in 3 Einzelquerschnitten, ergibt sich zu

ϕ ges = ϕ 1 + ϕ 2 + ... +

§ ·

M l l l

T

¨
©

1 2 3

¸
¹

M

(7.7), ges

G I I I

t t 2 t 3

wobei l 1 , l 2 , l 3 für die Teillängen und I t1 (d 1 ), I t2 (d 2 ), I t3 (d 3 ) für die zugehörigen Torsi-
onsträgheitsmomente stehen.
Der mittlere Absatz kann auch konisch ausgeführt sein. Der Stabdurchmesser des
mittleren Absatzes ändert sich dabei linear und der Term l 2 / I t2 nach Gl. 7.7 lässt sich
nicht mehr anwenden. Das Flächentorsionsmoment I t2 muss als x-abhängige Größe
behandelt werden. Der Verdrehwinkel

ϕ ges zwischen Anfangs- und Endquerschnitt