Einführung - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 28

• Gleichgewicht am starren Körper
Ein starrer Körper in der Ebene ist hinsichtlich seiner Bewegungsmöglichkeit durch
3 Freiheitsgrade geprägt. Lager haben die Aufgabe, Bewegungen zu verhindern. Sie
sind so auszuwählen, dass genau diese 3 Freiheitsgrade erfasst werden. Unter dieser
Voraussetzung kann ein Gleichgewichtszustand erzielt werden. Das System ist sta-
tisch bestimmt.
Nur die Kombinationen 3 Loslager - oder 1 Loslager und 1 Festlager - oder eine
feste Einspannung erfüllen die Bedingung. Abweichungen davon führen zu stati-
scher Unbestimmtheit. Werden weniger als 3 Freiheitsgrade gebunden, ist das Sys-
tem beweglich und damit instabil. Werden Lager verwendet, die mehr als 3 Frei-
heitsgrade bereit halten, können diese Systeme mit den 3 Gleichgewichtsbedingun-
gen nicht berechnet werden.
Die Berechnung des Gleichgewichtes an statisch bestimmten Systemen beschränkt
sich meist auf die Aufgabenstellung, dass für ein Tragwerk mit bekannten äußeren
Kräften die Lagerkräfte zu ermitteln sind. Besteht das Tragwerk aus einem Grund-
element, liegt ein einfaches ebenes Tragwerk vor. Tragwerke aus mehreren Grund-
elementen (Stäben, Scheiben) bilden ein System starrer Körper, die verbunden sind
durch Gelenke bzw. Führungen.

Die analytische Lösung ist durch zwei Lösungsschritte gegeben:
1. Freischneiden des Trägers,
- die Lager werden entfernt,
- die Kräfte, welche die Lager auf den Träger ausüben, werden angetragen,
- die Pfeilrichtung bestimmt die positive Richtung,
- ergibt die Rechnung einen negativen Zahlenwert, so wirkt die Kraft entgegen
der Pfeilrichtung,
2. Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen,
-

zur Bestimmung von 3 unbekannten Kräften existieren 3 Gleichgewichtsbe-
dingungen,

- im Gleichgewichtsfall sind die algebraischen Summen aller vertikalen und

horizontalen Komponenten und die aller Momente gleich Null (Gl. 1.8).

Einf a c h e e b ene T rag w e r ke :
a) Der Träger wird gestützt
durch 1 Festlager und 1 Los-
lager (Abb. 1.27.). Nach dem
Freimachen werden die 3 Re-
aktionskräfte der Lager ange-
tragen. Da für die 3 unbe-
kannten Lagerkräfte die 3
Gleichgewichtsbedingungen
zur Verfügung stehen, ist das
System statisch bestimmt.
Die x- und y-Komponenten

F 3

F 1

A

F 2 B

F 3

F 1

A x B x

F 2 B y

A y

A

Abb. 1.27. Träger mit 1 Festlager und 1 Loslager