Druckbeanspruchungen - Finite Elemente Modelle der Statik und Festigkeitslehre - page 177

Knickung: Das seitliche Ausknicken eines Stabes ist
bei konstanter Kraft F und konstantem Querschnitt A
von der Länge l des Druckstabes abhängig. Die Frage-
stellung nach den vorhandenen Spannungen oder Form-
änderungen wird ersetzt durch die Frage nach dem Über-
schreiten der Grenze der Stabilität. Dabei ist als Maß
die Kraft F gesucht, die einen Druckstab in einen labi-
len Gleichgewichtszustand bringt.
Diese Kraft wird Knickkraft F K genannt. Bei F K be-
ginnt das Ausknicken des Stabes. A u f die Spannung
übertragen, liegt die Knickspannung

F

f

k V vor.
Damit der Stab nicht ausknickt, muss sich der Wert der
vorhandenen Druckkraft unter der Knickkraft und der
Wert der vorhandenen Druckspannung unter der Knick-
spannung befinden.
Eine allgemeine Beziehung für die Knickkraft ist von
EULER ermittelt worden. Für die Lagerung eines Sta-
bes nach Abb. 4.2. gilt

F K A

y

x

Abb. 4.2. Knickstab nach
Knickfall I (l K = 2 l)

2

S E I

F

(4.3).

K

2

4 l

Damit wird der kleinste Wert einer Kraft F = F K bestimmt, für den eine von y = 0
verschiedene Gleichgewichtslage möglich ist. Es wird rein elastisches Materialver-
halten vorausgesetzt.
Um die Gültigkeit der Eulerschen Gleichung, d. h. die Knickung im elastischen
Bereich zu erkennen, gibt es das Kriterium des Schlankheitsgrades. Mit

O (4.4)
wird der werkstoffbezogene Grenzschlankheitsgrad ermittelt. Über den Trägheitsra-
dius

O S E V

0 min dP

i (4.5)
kann der geometrische, auch von der Art der Führung des Stabes abhängige vorhan-
dene Schlankheitsgrad bestimmt werden. Für die Darstellung nach Abb. 4.2. gilt

I A

2 l

O

(4.6)

vorh

i

!O , befindet man sich im elastischen Bereich, und der Ansatz nach
EUL E R (Gl. 4.3) kann angewendet werden.
Ist

Ist O

vorh 0

O

vorh O

, liegt die Knickspannung σ k über der Proportionalitätsgrenze σ dP und

0

damit außerhalb des elastischen Bereiches.
Für diesen Fall muss mit aus Versuchen ermittelten Berechnungsgleichungen (nach
TETMAJER) der Wert der Knickspannung σ k berechnet werden. Durch eine Ver-

größerung des Querschnittes des Knickstabes kann die verlangte Sicherheit erreicht
werden.