Environmental Engineering Reference
In-Depth Information
1 Einführung
1.1 Grundlagen der Finite Elemente Methode
1.1.1 Das Wesen der Methode
Die Finite Elemente Methode stellt das umfassendste Berechnungswerkzeug für
viele Bereiche des Ingenieurwesens dar. Als computerorientiertes numerisches Ver-
fahren eignet sie sich vor allem zur Bearbeitung komplizierter, analytisch nicht be-
rechenbarer Bauteile.
Die Methode der finiten Elemente wurden von TURNER, CLOUGH, MARTIN
und TOPP 1956 für die Scheibe vorgestellt. CLOUGH führte 1960 den Begriff fini-
tes Element ein. Eine mathematische Basis wurde bereits 1943 von COURANT mit
der Entwicklung eines Verfahrens geschaffen, bei dem ein System in Dreiecke ein-
geteilt und mit numerischer Polynom-Interpolation eine Lösung approximiert wur-
de. Die begrenzten Rechenmöglichkeiten der damaligen Zeit ließen keine weitere
Entwicklung zu.
Die Fortschritte in der Computertechnik führten zu einem Entwicklungsschub, an
dem maßgeblich ZIENKIEWICZ, VEUBECKE, ARGYRIS u. a. beteiligt waren. Es
wurden die Zusammenhänge weiter untersucht, neue Elemente entwickelt und das
mathematische System umfassend begründet.
Das reale Bauteil wird gedanklich durch ein idealisiertes Modell aus
finiten
(lat.
'beenden', allgem. 'bestimmt') Elementen ersetzt, d. h. aus einfachen Bauelemen-
ten, deren elastisches Verhalten mathematisch formulierbar ist. Durch diese Zerle-
gung des komplexen Bauteils in einfache Abschnitte wird eine Berechnung mög-
lich, die jedoch nur eine Näherungslösung bezüglich des realen Bauteils darstellt.
Mit dem Werkzeug FEM können Probleme trotzdem wesentlich wirklichkeitsnä-
her gelöst werden als das die klassischen Mittel der Technischen Mechanik bzw. der
Maschinen-Elemente ermöglichen.
Zur Modellierung stehen verschiedenartige Elemente zur Verfügung, z. B. Stab-
elemente, Scheibenelemente, Volumenelemente. Konstruktionen aus Stäben bzw.
Tragwerke sind einfach zu erfassen. 3-D-Körper dagegen lassen immer mehrere
Möglichkeiten der Modellbildung zu.
Man stößt bei 3-D-Körpern mitunter an Grenzen. Sehr schnell können die Model-
le in Bereiche wachsen, wo die Rechenzeiten extreme Werte annehmen. Es kann oft
die Konturentreue nicht eingehalten werden, weil ansonsten die Elementeanzahl zu
