Impuls- und Energietransport in solarthermischen Systemen - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 293

Das Hauptziel des laminaren Impulsaustauschs ist die Bestimmung des lokalen c L ( x )-
Wertes und/oder des globalen Reibungskoeffizienten c W . In vielen Textbüchern werden
diese Werte in folgender Form angegeben.

Re x Re L c L ( x ) = f und c W f .

= (5.34)

worin Re x die lokale Reynolds-Zahl ist und Re L die Reynolds-Zahl gebildet mit der charak-
teristischen Dimension des Kanals/Körpers.
Für eine Kanalströmung ist n = − 1 und dort ändert sich der Reibungskoeffizient in
Strömungsrichtung bei voll entwickelten Strömungen nicht. Dies unterscheidet sie von
der Grenzschichtströmung entlang einer Platte, da dort die Grenzschichtdicke entlang der
Platte in Strömungsrichtung x anwächst während der lokale Reibungskoeffizient mit x fällt.
In diesem Fall ergibt sich für den lokalen Reibungskoeffizienten der Exponent m = − 1/2
und der Gesamtreibungskoeffizient hat den Exponenten n = − 1/2. Entscheidend in die-
sem Zusammenhang ist, dass die einzige auftretende dimensionslose Größe die Reynolds-
Zahl ist. Bei voll entwickelten Strömungen kann die Trägheitskraft durch den treibenden
Druckgradienten ersetzt werden.
Folgende Lösungsansätze zur Berechnung laminarer Strömungen können unterschie-
den werden:

• Analytische Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen können nur für wenige spezielle
Fälle angegeben werden.
• Numerische Lösungen der Navier-Stokes Gleichungen sind extrem zeitaufwändig, da ein
System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen elliptischen Typs gelöst wer-
den müssen. Dies ist ein Randwertproblem und keine konsekutiven Methoden wie für
parabolische partielle Differentialgleichungen können angewendet werden. Für eini-
ge technisch interessante Fälle wie Rohreinlaufströmung oder Strömungen nahe einer
Vorderkante wurden umfangreiche Berechnungen durchgeführt und dokumentiert. In
der Ingenieurpraxis sind diese aber von geringer Bedeutung. Für den Grenzfall Re → ∞
mutieren die Navier-Stokes Gleichungen in die Grenzschichtgleichungen. In den pra-
xisrelevanten Fällen ist die Reynolds-Zahl zumeist groß genug, um die Grenzschicht-
gleichungen anzuwenden. Eine Ausnahme ist das Plattenvorderkantenproblem, für das
als Voraussetzung d δ/ dx << 1 und ∂ 2 /∂ x 2 << ∂ 2 /∂ y 2 nicht erfüllt ist.
• Exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen existieren nur für wenige Fälle. Die Ter-
minologie exakt bezeichnet hier, dass es nicht eine analytische aber eine beliebig exakte
numerische Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung gibt. Für die Klasse der
selbstähnlichen Lösungen ändert sich die Form des individuellen Geschwindigkeits-
profils in Strömungsrichtung nicht und es kann durch eine geeignete Koordinatentrans-
formation auf ein ähnliches Profil zurückgeführt werden.
Für beliebige Außenströmungen ändert sich das Geschwindigkeitsprofil in Strömungs-
richtung und es gibt keine selbstähnlichen Lösungen. In solchen Fällen müssen die
Grenzschichtgleichungen numerisch gelöst werden. Dies kann auf drei Wegen erfolgen: