Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 151

Der Wärmestrom aus Gl. (4.69) kann damit in Gl. (4.70) eingesetzt werden und es ergibt
sich folgende Differentialgleichung:

d ( T 1 − T 2 ) 1 1

= α · A · + dt . (4.71)

( T 1 − T 2 ) m 1 · c p 1 m 2 · c p 2

Unter der Voraussetzung, dass die Massen m i , die Wärmeübergangszahl α und die spezi-
fischen Wärmekapazitäten c pi konstant sind, kann die Gl. (4.71) integriert werden. Die
Integration erfolgt von der Zeit t = 0 bis t und von den Anfangstemperaturen T A 1 und T A 2
bis zu den Temperaturen T 1 und T 2 . Das Resultat lautet:

( T 1 − T 2 ) 1 1

ln = − α · A · + · t .

(4.72)

( T A 1 − T A 2 ) m 1 · c p 1 m 2 · c p 2

Damit ergibt sich für die Temperaturdifferenz ( T 1 - T 2 ) zwischen dem Körper und Fluid:

1 1

( T 1 − T 2 ) = ( T A 1 − T A 2 ) · exp α · A · + · t .

(4.73)

m 1 · c p 1 m 2 · c p 2

Mit der Gl. (4.73) kann die Temperaturdifferenz zwischen dem Fluid und Körper, nicht
aber die Temperatur des Körpers oder Fluids bestimmt werden. Die Temperatur des
Körpers und Fluids können aus den Gln. (4.67 und 4.68) für jede beliebige Zeit ermittelt
werden.
Da in den Gleichungen die Massen und spezifischen Wärmekapazitäten konstant sind,
kann die in der Zeit t ab- und zugeführte Wärme berechnet werden.

Q ( t ) = m 1 · c p 1 · ( T A 1 − T 1 );

Q ( t ) = m 2 · c p 2 · ( T 2 − T A 2 ) .

(4.74)

Die Gl. (4.73) gilt auch für unendlich lange Zeiten, bei der ein Temperaturausgleich zwi-
schen dem Körper und dem Fluid erreicht wird. Die Temperatur nach dem Ausgleich für
t →∞ errechnet sich mit Hilfe des Gleichgewichts zu:

T ∞ = m 1

· c p 1 · T A 1 + m 2 · c p 2 · T A 2

T ( t →∞ ) = .

(4.75)

m 1 · c p 1 + m 2 · c p 2

Für die zeitlichen Änderungen der Temperatur erhält man aus den vorangegangenen
Gln. (4.74 und 4.75):

T A 1 − T 1

= T A 1

− T ∞

= m 2

· c p 2

c p 1 .

(4.76)

T 2 − T A 2 T ∞ − T A 2 m 1 ·