Passive Mechanismen in der Solarenergie - Thermische Solarenergie: Grundlagen, Technologie, Anwendungen - page 130

4.3 Wärmeleitung in Fluiden und Festkörpern

In einem homogenen Kontinuum erfolgt ein Wärmefluss entsprechend des zweiten Haupt-
satzes der Thermodynamik von einem höheren zu einem niedrigeren Temperaturniveau.
Bei einem Wärmetransport mittels Wärmeleitung geschieht dies durch Stöße zwischen
benachbarten Molekülen entweder durch den Austausch von Phononen oder durch die
Bewegung von Elektronen entlang der Temperaturdifferenz dT über ein Wegelement dx .
In einfachsten Fall einer ebenen, homogenen Wand, (oder eines Spaltes, der homogen mit
einem ruhenden Kontinuum ausgefüllt ist,) in der die Temperatur nur in eine Richtung
( x -Richtung) durch die Wand einen Gradienten dT/dx besitzt, fließt ein Wärmestrom ent-
sprechend

˙

Q x = A · ˙ q x ,

(4.2)

worin ˙

q x die Wärmestromdichte normal bezogen auf die Fläche A darstellt. Der Wärme-
strom entlang des infinitesimalen Wegelementes dx ist proportional zur spezifischen Wär-
meleitfähigkeit des Mediums λ und somit ergibt sich das 1. Fouriersche Gesetz in eindi-
mensionaler Form zu:

· dT
dx

q x ˙ = − λ ,

(4.3)

in dem d / dx die totale Ableitung darstellt. Das Minuszeichen drückt aus, dass die Wär-
me in Richtung abnehmender Temperatur fließt. Im Regelfall liegen in einem Kontinuum
dreidimensionale Temperaturfelder vor und damit wird der Wärmestrom durch ein Vek-
torfeld, in folgender Form

q ˙ = q ( x , t )

(4.4)

beschrieben, in der

x der Raumvektor ist und t die Zeit darstellt. Damit fließt durch ein
Flächenelement dA der Dicke dx ein Wärmestrom ˙

q :

˙

d Q = ˙ q ( x , t ) ndA = | ˙ q | cos ( β ) dA. (4.5)

Hierbei ist | den

Winkel  . Das entsprechende Temperaturfeld T ist ein Skalar damit ebenfalls eine Funk-
tion vom Ort

n der Einheitsvektor in Richtung der Flächennormalen. Er bildet mit | ˙

q

x und der Zeit t und wird durch.

T = T ( x , t ), (4.6)

Beschrieben bei einem stationären Vorgang (∂/∂ t = 0) verschwindet die Zeitabhängigkeit
von t . Alle Punkte eines Körpers mit derselben Temperatur kann man sich durch eine
Fläche verbunden denken. Diese Fläche wird als Isotherme bezeichnet. Die größte Tempe-
raturänderung erfolgt normal zu den Isothermen und ist durch den Temperaturgradienten
∇ T gegeben.

= ∂T
∂x

+ ∂T
∂y

+ ∂T

∇ T

∂ z ,

(4.7)