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6.4 Lineare Viskoelastizitat
6.4.1 Charakteristische Differentialgleichung
DGL eines Maxwell-Elementes
j
:
σ
j
+
1
τ
j
σ
j
=
γ
j
σ
0
, j
=1
,...,M
(6.56)
Normierte Steifigkeiten:
γ
j
=
E
j
E
0
(6.57)
Relaxationszeiten:
τ
j
=
η
j
E
j
(6.58)
Unabhangige Materialparameter:
E
0
: Steifigkeit der Feder
E
j
: Steifigkeiten der Maxwell-Elemente
η
j
: Vi i aten
Faltungsintegral (viskoelastische Spannungen) als allgemeine Losung der DGL:
σ
j
(
t
)=
γ
j
t
0
exp
∂σ
0
(
s
)
∂s
t
−
s
τ
j
−
ds
;
j
=1
,...,N
(6.59)
Numerische Auswertung mittels Rekursionsformel:
=exp
σ
j
+
γ
j
τ
j
Δ
t
1
−
exp
σ
n
+1
0
− σ
0
Δ
t
τ
j
Δ
t
τ
j
σ
n
+1
j
−
−
(6.60)
6.4.2 Relaxationssteifigkeitsmodul
Relaxationsversuche werden im
Zeitraum
durchgefuhrt:
σ
(
t
)=
E
(
t
)
ε
0
(6.61)
Relaxationssteifigkeitsmodul:
E
j
exp
N
t
τ
j
E
(
t
)=
E
0
+
−
(6.62)
j
=1
Spannungen:
E
j
ε
0
exp
N
t
τ
j
σ
(
t
)=
E
0
ε
0
−
+
(6.63)
σ
0
j
=1
σ
j
(
t
)
