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1.3.2 Tensorschreibweise
Unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention (2 gleiche Indizes auf einer
Seite der Gleichung) lassen sich die Spannungen als Tensor wie folgt schreiben:
3
3
σ
=
σ
ab
e
a
⊗
e
b
=
σ
ab
e
a
⊗
e
b
=
σ
11
e
1
⊗
e
1
+
σ
12
e
1
⊗
e
2
+
...
(1.7)
a
=1
b
=1
Dehnungen im alternativen KOS:
ε
=
ε
ij
e
i
⊗
e
j
(1.8)
Rotationstensor (ein sogenannter Zweifeldtensor; Orthogonalitat:
R
−
1
=
R
T
):
⎡
⎣
⎤
⎦
cos
α
−
sin
α
0
R
=
e
a
⊗
e
a
=
R
ab
e
a
⊗
e
b
mit [
R
ab
]=
sin
α
cos
α
(1.9)
0
0
0
1
Verwendung des gleichen KOS wie die Spannungen (Basen-Transformation mit
e
i
=
e
i
R
):
ε
=
ε
ab
e
a
⊗
e
b
mit
ε
ab
=
ε
ij
R
ia
R
jb
(1.10)
Skalarprodukt:
σ
:
ε
=
σ
ab
ε
ab
(1.11)
Inneres Produkt (Verjungung):
σ ε
=
σ
ab
ε
bc
e
a
⊗
e
c
(1.12)
Dyadisches Produkt (Tensorprodukt):
σ
⊗
ε
= Tensor 4. Stufe
(1.13)
Um die Vorteile der Tensorschreibweise zu verdeutlichen, sind hier noch einmal beide
Methoden gegenubergestellt:
Matrizenschreibweise
Tensorschreibweise
Mehrere KOS
Mehrere Variablen erforderlich:
Tensor unabhangig vom KOS:
z.B.
ε
und
ε
nur
ε
Dehnungen
Zu klaren: Reihenfolge der
Eindeutig:
ε
ij
Schubspannungen,
ε
ij
oder
γ
ij
Verwechslungsgefahr:
R
oder
R
T
Rotationsmatrix/
Rotationstensor
Eindeutig:
R
=
e
a
⊗
e
a
Produkte
Nur Skalarprodukt berechenbar
Auch inneres Produkt
Speicherbedarf
Groß: 6
×
6Eintrage fur
R
Klein: 3
×
3Eintrage fur [
R
ab
]
Handhabung
Ansichtssache: von anschaulich
Kompakte Schreibweise: sehr
bis unubersichtlich
einfach programmierbar
