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■
2.4■ Instationäre Strömungsvorgänge
Bisher wurde die Bernoulli-Gleichung nur für stationäre Strömungen betrachtet. Bei Instatio-
narität ist der Bilanz noch ein Term hinzuzufügen, der die zeitliche Änderung der kinetischen
Energie beschreibt und der sich unter der Bedingung, dass Integration und Differenziation
vertauschbar sind, sowie bei Verwendung der Lauflänge
s
und der Bezugsebene 2 (Austritt)
mit
c cA A
=
umformen lässt:
22
s
2
2
∂
c
∂
c
∂
c
∂
c
A
∂
c
A
2
2
2
2
∫
∫
∫
∫
∫
d
V
=
cA
d
sm
=
d
sm
=
d
sm
=
d
s
∂
t
2
∂
t
∂
t
∂
tA
∂
t
A
(B)
(B)
(B)
(B)
s
1
Somit lautet die Bilanz für eine reibungsfreie instationäre Strömung:
s
2
2
2
c
p
∂
c
A
c
p
1
1
2
2
2
2
∫
++ =
gz
d
s
+++
gz
(2.82)
1
2
2
∂
t
A
2
s
1
Beispiel:
Für den in Bild 2.19 dargestellten Behälter soll der zeitliche Verlauf der Ausström-
geschwindigkeit nach dem plötzlichen Öffnen des Schiebers ermittelt werden, wobei wegen der
kurzen Rohrlänge Reibungswirkungen vernachlässigbar sein sollen.
b
0
b
Bild 2.19■
Behälter mit Absperrorgan
Lösung
s
2
∂
cA
2
c
2
2
2
Gl. (2.82) vereinfacht sich bei konstanter Füllhöhe
(
c
=
zu
0)
gH
=
∫
d
s
+
.
1
0
∂
t
A
2
s
1
Das über die Lauflänge (Flüssigkeitsspiegel bis Ausflussöffnung) zu bestimmende Integral ergibt
für den Fall konstanten Rohrdurchmessers und
A
1
=
A
Behälter
A
Rohr
=
A
2
:
s
H
Hl
+
0
0
2
A
A
A
∫
2
2
∫
∫
2
d
s
=
ds
+
d
s
=
H
l
l
0
A
A
A
1
1
s
0
H
1
0
Somit folgt unter Berücksichtigung der stationären Austrittsge
schwin
digkeit für vernachlässigbare
Reibungswirkungen (Ausflussformel von Torricelli)
c
∞
=
2
gH
0
2
2
2
d
d
c
t
2
gH
−
c
cc
−
0
∞
=
=
2
l
2
l
