Civil Engineering Reference
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Die Formänderungsarbeit ist analog Gl. (4.58) bei
E
I
= const wie folgt zu bestimmen:
L
L
1
1
(
)
2
2
∫
∫
W
=
M s
d
=
M
Fy Fx
−+
d
s
(4.81)
0
x
y
2
EI
2
EI
0
0
Die partielle Ableitung der Formänderungsarbeit nach den Reaktionskräften ergibt nach
dem 1. Satz von Castigliano die Verschiebung in Richtung dieser Kräfte.
a) Verschiebung in
x
-Richtung
L
∂
W
1
∂
(
)
2
∫
D
==
M
−+
Fy Fx
d
s
Fx
0
x
y
∂
F
2
EI
∂
F
x
x
0
L
1
(
)
( )
∫
=
M
Fy Fx
−+ −
y s
d
(4.82)
0
x
y
EI
0
L
L
L
1
2
∫
∫
∫
=
F y sF xysM y
d
−
d
−
d
s
x
y
0
E
I
0
0
0
L
2
∫
ysI
d
=
Linienträgheitsmoment, bezogen auf die
x
-Achse,
Lx
0
L
∫
xy s
d
=
I
Linienzentrifugalmoment, bezogen auf die
x
- und
y
-Achse,
L xy
0
L
∫
ys M
d
=
statisches Moment des Liniensystems, bezogen auf die
x
-Achse.
sx
0
Das statische Moment wird auch als Moment 1. Grades bezeichnet. Das statische Moment
einer Linie, bezogen auf eine beliebige Achse, ergibt sich auch aus dem Produkt der Länge
L
dieser Linie mit dem Abstand ihres Linienschwerpunkts von der Bezugsachse, d. h. bezogen
auf die
x
-Achse
M
s
x
=
L
und bezogen auf die
y
-Achse
M
s
y
=
L
, wobei , die Schwerpunkt-
abstände sind (Bild 4.47). Es muss nun gelten:
L
∫
s
M
=
L
ys
=
d
(4.83)
0
L
∫
s
M
=
L
xs
=
d
(4.84)
0
Wie zu erkennen ist, hat das statische Moment die Einheit m
2
. Somit kann dann die Ver-
schiebung durch die Kraft
F
in
x
-Richtung beschrieben werden:
1
(
)
D =
FI
FI
−
MM
−
(4.85)
F x
x
Lx
y
Lxy
0
sx
EI
