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geben. Nach der Norm sollte, wenn die von einer Temperaturdifferenz verursachte Spannung
zu berechnen ist, als Temperatur
(
)
(
)
=
0, 75 max
,
+
0,25 min
,
in °C
(4.35)
12
12
verwendet werden.
Die Einspannstellen nehmen nicht nur Kräfte in vertikaler und horizontaler Richtung,
sondern auch Biegemomente auf, die hier als
Einspannmoment
bezeichnet werden.
Die Längskraft wird durch die verhinderte thermische Dehnung hervorgerufen, s. Gl. (4.33).
Das verformte Rohr (Bild 4.12) kann mithilfe der Differenzialgleichung für die Biegelinie
Gl. (4.5) beschrieben werden. Zur Bestimmung des Biegemoments
( )
Mx
wird der obere
Teil des eingespannten Rohrs betrachtet (Bild 4.13), wobei die Verformung
( )
yx
zwar klein
ist, aber hier nicht vernachlässigt wird (Theorie II. Ordnung):
∑
( )
( )
M
=
0:
M x
M
+−
Fy x
0
⤽
( )
1
E
( )
( )
→=
M x
Fy x
−
M
(4.36)
E
Das Einsetzen in die allgemeine Differenzialgleichung der Biegelinie Gl. (4.5) ergibt:
M
F
( )
( )
( )
( )
E
EIy x
′′
=−
M
Fyx
bzw.
y x
′′
+⋅
yx
=
(4.37)
E
EI
EI
Diese inhomogene lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten kann
mit der Substitution
( ) ( )
yx
=
wx
M F
+
in die homogene Differenzialgleichung
E
( )
( ) ( )
w
′′
überführt werden. Für die allgemeine Lösung dieser Gleichung
wird der Ansatz
( )
e
px
x
+
F
EI w x
=
0
empfohlen. Damit folgen
( )
e
px
und
( )
2
e
px
′′
.
Nach Einsetzen dieser Ausdrücke und der Division durch
e
px
folgt die „charakteristische
Gleichung“ der Differenzialgleichung
wx
=
wx p
′
=
wx p
=
( )
2
p
+
F
EI
=
. Sie hat die beiden Lösungen
0
F
F
F
F
p
=+−
=
i
und
p
=−−
=
−
i
1
2
EI
EI
EI
EI
Bild 4.12■
Modell des eingespannten Rohres
Bild 4.13■
Schnittgrößen
