Mathematical modelling of Signals – Processes – Systems - Signals, Processes, and Systems - page 497

PARSEVALs Theorem

For the derivation of the WIENER- KHINTSHINE theorem the following context is
required:

Assuming that the FT and IFT exist for the signals

∞ ∞

³ ³

FT − jt ω FT − jt ω

x ( ) t ⎯⎯→ X ( ω ) = xt ( ) e t bzw. xt ( ) ⎯⎯→ X ( ω ) = xt ( ) e t

1 1 1 2 2 2

−∞ −∞

∞ ∞

1 1

IFT

³

jt ω IFT

³

jt ω

X () ω ⎯⎯→ xt () = X () ω e d ω bzw. X () ω ⎯⎯→ x t () = X () ω e dt

1 1 1 2 2 2

2 π 2 π

−∞ −∞

PARSEVAL´s theorem holds good

∞ ∞

1

³

∗

³

∗

x () txtdt ⋅ () = X ( ) ωωω ⋅ X ( ) d

1 2 1 2

2 π

−∞ −∞

Derivation:

∞ ∞

ª

∞

º

1

³ ³ ³

∗ ∗ − jt ω

x () txtdt ⋅ () = xt () X ( ) ωω e d dt

« » 1 2 1 2

2 π

¬ ¼

−∞ −∞ −∞

∞

ª

∞

º

1

³ ³

= X

∗

() ω xte ()

− jt ω

dtd ω

« » 2 1

2 π

¬ ¼

−∞ −∞

∞

1

³

= XXd () ωωω ⋅

∗

()

1 2

2 π

−∞

Derivation of the WIENER-KHINTSHINE- theorem

T

1

{ }

³

φ

= xx D = lim x x ( ) τ

∗

( τ − td ) τ vow IFT x x ( ) τ

∗

( τ − t )

x x 1 1 1 1 1 1

2 T

11

T →∞

− T

∞

11

{ }

j ω t

³

jt ω

∗ ∗ ∗

= lim XXe ( ωωω ) ⋅ ( ) d (time shift: IFT x ( τ − t ) = Xe ( ω ) )

1 1 1 1

22 T π

T →∞

−∞

∞

1 1

2

³

jt ω

= lim Xe ( ω ) d ω

1

2 π 2 T

T →∞

−∞
∞

1 1

2
1 () = S()

³

jt ω

= S( ω ) ed ω , if lim X ω ω

2 π 2 T

T →∞

−∞

Derivation:

The average spectral noise density may be expressed as
an average power per frequency

dP dP

S (f)= bzw. S (

ω ωπ ω

)= 2

f

df d