Civil Engineering Reference
In-Depth Information
The internal shear,
V
x
, and moment,
M
x
, at any point,
x
, can be found
from statics and the partial derivatives of that shear and moment can be
found with respect to the applied force and moment at the
i
-end.
VP
V
P
V
M
MPxM
M
P
=−
x
iz
d
d
d
d
x
=−
1
iz
x
=
0
iy
=− −
x
iz
iy
d
d
d
d
x
=−
x
iz
M
M
x
=−
1
iy
Castigliano's second theorem can be applied noting that at the
i-
end the
deflection is zero and the rotation is
q
iy
.
d
d
M
P
d
d
V
P
dx
EI
dx
GA
dx
EI
dx
GA
(
)
∫
∫
∫
∫
∆
iz
==
0
M
x
+
V
x
=
P
xMx
2
+
+
P
iz
x
x
iz
iy
iz
y
iz
z
y
z
2
3
ML
EI
PL
EI
PL
GA
iy
iz
iz
0
=
+
+
3
2
y
y
z
M
EI
2
3
PL
EI
2
P
iy
=−
iz
−
iz
LGA
y
y
z
d
d
M
M
dx
EI
d
d
V
M
dx
GA
xM
dx
EI
dx
GA
(
)
∫
∫
∫
P
∫
0
q
=
M
x
+
V
x
=
+
+
iy
x
x
iz
iy
iy
y
iy
z
y
z
ML
EI
PL
EI
2
iy
q
=
iz
+
iy
2
y
y
Substituting the first equation into the second equation results in the following:
2
2
2
PL
EI
2
3
PL
EI
P
GA
2
PL
EI
P
GA
2
iz
iz
iz
iz
iz
q
=
−
−
= −
−
iy
2
6
y
y
z
y
z
L
2
2
q
=−
−
P
iy
iz
6
EI
GA
y
z
q
EI AG
LAG I
6
yz
P
=−
(5.13)
iz
iy
2
+
12
z
y
