T-Preorders and T-Indistinguishabilities - Fuzzy Logic: An Introductory Course for Engineering Students - page 133

E ˃ 1
T

E ˃ 2
T

μ( x , y ) = Min ( ( x , y ), ( x , y )),

a T-indistinguishability.

• With T = W ,is

μ( x , y ) = Min ( 1 −| ˃ 1 ( x ) − ˃ 1 ( y ) | , 1 −| ˃ 2 ( x ) − ˃ 2 ( y ) | )

= Min ( 1 −| x − y | , 1 −| y − x | ) = 1 −| x − y | .

x 2 , results Notice that with ˃ 1 ( x ) = x , ˃ 2 ( x ) =

x 2 y 2 μ( x , y ) = Min ( 1 −| x − y | , 1 −| − | ),

x 2 y 2 that is, μ( x , y ) = 1 −| x − y | , provided x + y ≤ 1, and μ( x , y ) = 1 −| − | if

+ >

x y 1.

• =

With T prod , results

⊧
⊨

Min 1

1 1 , x = y

, y ≤ x

, x ≤ y

y
x ,

y < x

μ( x , y ) =

y ,

= .

y
x ,

1 − y

⊩

x >

x ,

y > x

1 − 1 − y

x ,

y > x

1 −

• With T = min , results

⊧
⊨

min 1

1

1 , x = y

, x ≤ y , y ≤ y

μ( x , y ) =

y ,

= y , x = y ≤ 1 / 2

⊩

y , x > 1 − y , y > x

− , = > /

1 y x y 1 2

x

Example 5.3.2 A finite example with X ={ 1 , 2 , 3 , 4 } .Take ˃ 1 ( x ) =

4 ,

˃ 2 ( x ) =

x

1 −

4 , and T

= W .Itis

⊛ ⊞

1111
3

⊝ ⊠

/ 41 11

J ˃ W ]= [

1 / 23 / 411

1 / 41 / 23 / 41

Since, f.e.,

min 1 min 1

1
4 +

2
4

3
4 +

1
4

J ˃ W ( 1, J ˃ W (

1 , 2 ) = , 1 − = 3 , 1 ) = , 1 − = 1 / 2 ,

min 1 min 1 1

1
4

3
4 +

J ˃ W ( 4, J ˃ W ( 4 , 1 ) = , 1 − 1 + = 1 / 3 , 4 ) = , 1 − = 1, etc.