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In the same vein that in the case of T-Preorders,
•
μ
T
T
.
is a T-indistinguishability if and only if
μ
=
Inf
˃
∈
T
(μ)
For example,
min
1
1
)
˃(
y
),
if
˃(
x
)>˃(
y
)
,
if
˃(
x
)
≤
˃(
y
)
˃(
x
),
if
˃(
y
)>˃(
x
)
,
if
˃(
y
)
≤
˃(
x
•
T
=
min
, μ(
x
,
y
)
=
Inf
˃
∈
T
(μ)
,
1
,
if
˃(
x
)
=
˃(
y
)
=
Inf
˃
∈
T
(μ)
min
(˃(
x
), ˃(
y
)),
otherwise
1
,
if
˃(
x
)
=
˃(
y
)
=
Inf
˃
∈
min
(˃(
x
), ˃(
y
)),
otherwise
T
(μ)
min
1
,
1
,
if
˃(
x
)
≤
˃(
y
)
if
˃(
y
)
≤
˃(
x
)
•
T
=
prod
, μ(
x
·
y
)
=
Inf
˃
∈
T
(μ)
,
˃(
y
)
˃(
x
)
)
,
˃(
y
)>˃(
x
)
)
,
if
˃(
x
)>˃(
y
)
if
˃(
x
˃(
y
1
,
if
˃(
x
)
=
˃(
y
)
min
˃(
y
)
=
Inf
˃
∈
˃(
x
)
,
˃(
x
)
,
otherwise
T
(μ)
˃(
y
)
⊨
⊩
1
,
if
˃(
x
)
=
˃(
y
)
min
˃(
y
)
˃(
=
)
,
˃(
x
)
Inf
˃
∈
T
(μ)
,
otherwise
x
˃(
y
)
•
T
=
W
, μ(
x
,
y
)
=
Inf
˃
∈
min
(
min
(
1
,
1
−
˃(
x
)
+
˃(
y
),
1
−
˃(
y
)
+
˃(
x
)))
T
(μ)
=
Inf
˃
∈
min
(
1
,
1
−
max
(˃(
x
)
−
˃(
y
), ˃(
y
)
−
˃(
x
)))
T
(μ)
=
Inf
˃
∈
min
(
1
,
1
−|
˃(
x
)
+
˃(
y
)
|
)
T
(μ)
=
Inf
˃
∈
(
1
−|
˃(
x
)
−
˃(
y
)
|
)
T
(μ)
Remark 5.3.1
Like in the case of T-Preorders, for any family of functions
F ↂ
X
, the T-indistinguishability
Inf
E
T
has the elements in
[
0
,
1
]
F
as T-states. Notice
˃
∈
F
E
T
(
J
T
(
J
T
(
that with
μ(
x
,
y
)
=
Inf
x
,
y
)
=
Inf
min
(
x
,
y
),
y
,
x
))
, it follows
˃
∈
F
˃
∈
F
J
T
(
μ(
x
,
y
)
≤
x
,
y
)
, for all
x
,
y
in
X
, that is equivalent to
˃
∈
T
(μ)
. Hence,
∀
˃
∈ F ⃒
˃
∈
T
(μ)
,or
F ↂ
T
(μ).
With
X
=[
0
,
1
]
and the two functions
˃
1
(
x
)
=
x
,
˃
2
(
x
)
=
1
−
x
,itis
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